Другие предметы \ Теория автоматического управления

Оптимальные системы автоматического управления, страница 2

Имеется функционал:

(1)

При этом допустимые кривые , среди которых ищется экстремум функционала, должны удовлетворять граничным условиям:

(2)

И условиям вида:

(3)

При этом . Мы предполагаем, что условия (3) являются независимыми, а это значит, что для всех , которые удовлетворяют условиям (3), справедливо:

Таким образом, функционал (1) рассматривается не на всех допустимых кривых, удовлетворяющих граничным условиям (2), а только на тех кривых, которые удовлетворяют системе уравнений (3). Важно, чтобы условия (2) и (3) были согласованными, то есть начальные и конечные точки должны удовлетворять - мерному многообразию, которая задается системой уравнений (3).

Следует отметить, что граничные условия можно задать следующим образом:

А недостающее условие определяется из уравнений связи (3).

Это задача на условный экстремум называется задачей Лагранжа с голономными связями .

Введем в рассмотрение новый функционал:

(4)

Здесь - функции, подлежащие определению.

Относительно функционала (4) решается задача на безусловный экстремум, при чем подлежащие определению функции и . Система уравнений Эйлера-Лагранжа для функционала (4) принимает вид:

(5)

Система (5) состоит из уравнений, которые совпадают с числом искомых функций и . Общее решение системы (5) содержит произвольных постоянных, для определения которых используются граничные условия (2).

Если кривая доставляет безусловный экстремум функционалу (4), то на ней достигается и условный экстремум функционала (1). В самом деле, если на кривой достигается безусловный экстремум функционала (4), то эта кривая доставляет экстремум функционалу (5).

Тогда , и если кривая доставляет безусловный экстремум функционалу , то, в частности, она будет доставлять экстремум и в более узком классе кривых, удовлетворяющих уравнениям связи.

Докажем следующую теорему:

Теорема 1

Если функция доставляет экстремум функционалу (1) и удовлетворяет условиям связи (3), то существуют такие множители , что функция удовлетворяет уравнениям Эйлера-Лагранжа для функционала (4).

Доказательство

Первая вариация функционала (1):

Здесь . Это допустимые приращения функции , удовлетворяющей граничным условиям:

Интегрируя по частям выражение для первой вариации и учитывая граничные условия для переменной , будем иметь:

Функции удовлетворяют уравнениям связи, поэтому приращение не является независимым, и применять лемму Лагранжа для определения необходимого условия экстремума нельзя.

Для определения зависимости между приращениями разложим левую часть равенств:

в ряд Тейлора, ограничившись членами первого порядка малости относительно .

Учитывая, что:

получаем:

(6)

Эти равенства представляют собой систему линейных однородных алгебраических уравнений относительно . По условию, ранг матрицы .

Поэтому, можно выделить свободных неизвестных . Это независимые, в отличие от основных неизвестных , которые при решении системы (6) выражаются через свободные неизвестные . Умножим почленно каждое уравнение системы (6) на , проинтегрируем по в пределах от до и сложим полученное равенство с выражением для вариации функционала .

Принимая во внимание необходимое условие экстремума:

Выделим так, чтобы первые слагаемых в подынтегральной сумме обратились в нуль:

(7)

Равенство (7) можно рассматривать как систему линейных алгебраических уравнений относительно . Определитель системы по предположению отличен от нуля. Поэтому система имеет единственное решение.

При таком выборе необходимо условие экстремума принимает вид:

Здесь будут независимыми. Поэтому в силу леммы Лагранжа:

(8)

Из уравнений (7) и (8) следует, что функции , доставляющие экстремум функционалу (1) удовлетворяют уравнениям Эйлера-Лагранжа для вспомогательного функционала (4).

Задача Чаплыгина

Определить замкнутую кривую, по которой должен двигаться центр масс летательного аппарата, чтобы за время облететь наибольшую площадь, если задана постоянная скорость ветра . Скорость летательного аппарата постоянна и равна . Все выше сказанное иллюстрируется рисунком:

При решении задачи требуется определить максимум для функционала:

(1)

при наличии связей:

(2)

Решение

Составим вспомогательный функционал:

Теперь запишем уравнения Эйлера-Лагранжа:

(3)

Интегрируя первые 2 уравнения (3) находим:

(4)

Постоянные интегрирования равны нулю за счет переноса оси координат.

Найденные значения и подставим во второе уравнение (3):

Из последнего уравнения следует, что можно ввести следующие обозначения:

И тогда получим:

(5)

Теперь проинтегрируем это уравнение и получим:

(6)

Уравнение (6) представляет собой уравнение эллипса, которое можно привести к следующему виду:

Здесь малая полуось определяется следующим образом:

Большая полуось:

Смещение центра эллипса:

Расстояние от центра эллипса до фокуса определяется следующим образом:

Таким образом, искомая траектория представляет собой эллипс, один из фокусов которого расположен в начале координат, а большая ось перпендикулярна направлению ветра.

При этом эксцентриситет эллипса: