Проектирование активных фильтров на операционных усилителях, страница 5

15

При расчете любого фильтра используют нормирование частоты [1]

,                                    (9)

где W- нормированная (относительная) частота сигнала, ,

,

 – абсолютная частота сигнала,

 – частота нормирования.

При этом:  для ФНЧ и ФВЧ;  для ПФ и РФ.

После нормирования выполняют преобразование частоты (для ФНЧ преобразование ограничивается нормированием) и аппроксимацию НЧ-функции изображения. Аппроксимацию завершают определением полюсов и нулей НЧ-изображения. Затем осуществляют обратный переход от полюсов и нулей НЧ -изображения к полюсам и нулям искомой передаточной функции. По этим полюсам восстанавливают искомую передаточную функцию и рассчитывают физические параметры цепи: коэффициент затухания d, нормированную собственную частоту цепи W₀. После денормирования, в соответствии с выражением (9), вычисляют абсолютное значение собственной частоты цепи . Значения w₀ и d служат исходными данными для расчета параметров элементов цепи – конденсаторов и резисторов.

Построение ВЧ-функции с помощью НЧ-функции осуществляется с помощью выражения

            S = 1/p,                                                (10)

где S – комплексная частота НЧ–функции изображения; p= jW – комплексная частота ВЧ-функции.

Порядок преобразования заключается в выполнении следующих шагов:

1.  Выполняется нормирование заданных частот по формуле (9);

2.  Задаются исходные величины, определяющие ВЧ-функцию: затухание в полосе пропускания а_п, затухание в полосе задерживания a_з и нормированная граничная частота задерживания W_з^¢;

3.  Выбирается вид аппроксимации и с помощью формул (5)–(8) определяется порядок НЧ-изображения. При этом следует иметь в виду, что ;

4.  Для найденного значения n по соответствующим таблицам определяются значения полюсов (и нулей) НЧ-функции изображения;

5.  На основании соотношения (10) находятся полюса (и нули) ВЧ-функции;

6.  С помощью полученных данных находят физические параметры звеньев синтезируемого ФВЧ:

7.   

,                               (11)

,                                (12)

где l_i – действительная часть полюса; W_i – мнимая часть полюса;

8.  Переход от НЧ-функции изображения к синтезируемому ФВЧ завершается денормированием в соответствие с (9) частот нулей передачи W_zвi и собственных часттот W₀ звеньев ФВЧ.

Построение полосно-пропускающей (ПП) функции ПФ с помощью НЧ-изображения выполняетсяс помощью преобразования [1]

,                                        (11)

где S – комплексная частота НЧ–функции изображения;

p= jW – комплексная частота ПП-функции;

DW = (f_пв – f_пн)/f_ср - нормированная полоса пропускания ПФ.

Порядок преобразования заключается в выполнении следующих шагов:

1.  Выполняется нормирование заданных частот по формуле (9);

2.  Задаются исходные величины, определяющие ПП-функцию: нормированная полоса пропускания ПФ ∆W, затухания в полосе пропускания a_п и полосе задержки a_з;

3.  Выбирается вид аппроксимации и с помощью формул (6), (7) или (8) определяется порядок функции НЧ –изображения. При этом надо учесть, что при преобразовании (11) полосе пропускания ПФ (f_пв – f_пн) соответствует нормированная граничная частота полосы пропускания НЧ–функции изображения . Полосе частот (f_зв – f_зн) соответствует нормированная граничная частота полосы заграждения НЧ-функции изображения:

4.   

.                        (12)

Таким образом, в формулах (6)–(8)  W_з=W'_з;

5.  Для найденного значения nпо соответствующей таблице определяются значения полюсов (и нулей, если дробная аппроксимация) НЧ-функции. Решая (11) относительно p, найдем полюсы p_j ПФ, через полюсы S_j НЧ–функции изображения.

.             (13)

Подстановка в (13) комплексно-сопряженных полюсов  приводит к соотношениям для нахождения полюсов ПФ.

,

(14)

, где ; ; l_{нj и} W_нj – действительная и мнимая части j–го полюса НЧ–функции изображения.