Проектирование активных фильтров на операционных усилителях, страница 4

Если возможна немонотонность (колебательный характер АЧХ как в полосе пропускания, так и в полосе задерживания), то применяют дробь Золотарева

12

. Она обеспечивает равноволновое приближение в полосе пропускания и изоэкстремальное в полосе задерживания. Такую аппроксимацию называют аппроксимацией по Золотареву или аппроксимацией по Кауэру.

При выборе вида аппроксимации следует учитывать следующее. При равных порядках аппроксимирующих функций аппроксимация по Золотареву обеспечивает наиболее крутой спад АЧХ в переходной области, т.е. наибольшую избирательность при малых расстройках. Кроме того, в полосе задерживания некоторые частоты полностью подавляются (нули передачи). Но при больших расстройках избирательность фильтров, аппроксимированных по Чебышеву и Баттерворту, может оказаться лучше. Аппроксимация по Чебышеву обеспечивает лучшую избирательность (при любых расстройках) по сравнению с аппроксимацией по Баттерворту. Однако фазовая характеристика фильтра, аппроксимированного по Баттерворту, наиболее линейна. Наименее линейна фазовая характеристика фильтра, аппроксимированного по Золотареву.

Таким образом, реализация одних и тех же требований к АЧХ (при сравнительно небольших расстройках) осуществляется проще всего при аппроксимации по Золотареву (наименьшее n) , а сложнее всего по Баттерворту (наибольшее n).

2.2. Определение порядка передаточной функции, ее полюсов и нулей

На следующем этапе проектирования происходит определение порядка передаточной функции фильтра. Для определения порядка передаточной функции необходимо воспользоваться выражением для коэффициента передачи (3).

Частным случаем (3) является выражение для коэффициента передачи ФНЧ /1/.

,            (4)

где W = f / f_п  - нормированная частота.

При максимально плоской аппроксимации получают полиномы Баттерворта. Порядок аппроксимирующей функции определяется исходя из требований к АЧХ /1/

,                                       (5)

где W_з = f_з / f_п.

Из таблицы1 приложения 02 по значению n определяют полюсы функции, аппроксимирующей по Бетторворту. Таблица составлена для случая, когда на граничной частоте величина затухания а_п = 3дБ, то есть . Если , то значения полюсов данные в таблице, нужно умножить на коэффициент r, определяемый из соотношения [1]

                      (6)

Частотные характеристики фильтров Чебышева имеют колебания коэффициента передачи в полосе пропускания и спадают монотонно в полосе заграждения. Исходя из этих характеристик, порядок nаппроксимирующей функции определяется следующим образом [2]

,                             (7)

где  – обратная гиперболическая функция.

Полюсы передаточной функции можно определить из таблицы 2 приложения 02.

Порядок аппроксимации по Золотареву [1] определяется из следующего выражения:

,              (8)

Значения функции j(Q) приведены в таблице 3 приложения 02.

Зная n, полюсы и нули передаточной функции определяются из таблицы 4 приложения 02.

2.3. Преобразование частот

Очередным этапом проектирования является преобразование частот. Для унификации расчетов задача аппроксимации АЧХ любого фильтра ФНЧ, ФВЧ, ПФ и РФ сводится к аппроксимации АЧХ ФНЧ, частотная характеристика которого является функцией нормированной частоты W. Переход от проектируемого фильтра к расчетному осуществляется путем замены переменной в выражениях, определяющих функцию передачи цепи. Поскольку независимой переменной в аппроксимирующей функции является частота, то замену переменной называют преобразованием частоты. Такое преобразование изменяет масштаб частот и позволяет трансформировать функцию передачи реализуемого фильтра, получая ее низкочастотное изображение. Для этого изображения и решается задача аппроксимации. После того как аппроксимация выполнена, производят обратный переход от низкочастотного изображения к проектируемому фильтру посредством обратной замены переменной в найденной (аппроксимированной) функции передачи.