Использование функции распределения ущерба при оценке вероятности разорения страховщика, страница 2

Если  страховщик  имеет  однородный  по  составу  и  достаточно большой по объему страховой портфель (или субпортфель), то согласно закону  больших  чисел,  распределение  суммы  многих  независимых случайных величин, подчиняющихся одному и тому же закону с теми же значениями параметров, начинает приближаться к нормальному закону распределения,  независимо  от  распределения  самих  этих  величин. (Более  того,  этот  эффект  возникает  уже  при  отсутствии  резко выделяющихся случайных величин!)  Этот  подход  используется  в  так  называемых «коллективных моделях»,  где  не  исследуется  каждый  договор  в  отдельности,  а анализируется  поток  требований  об  оплате,  сгенерированный  всем портфелем.  Отметим,  что  здесь  роль  отдельного  договора ( а следовательно, и распределение ущерба в нем) существенно снижена.

Это позволяет актуарию анализировать отдельный риск менее детально (если  он  перед  этим  проверил  и  обосновал  возможность  нормальной аппроксимации суммарного иска).

2.  Влияние степени риска на рисковую надбавку

Если величина выплаты страховщика– фиксирована(X|A= const), то D(X|A)= 0, следовательно, «условный» коэффициент вариации равен 0, тогда степень риска: K = q/p. Рассмотрим для этой ситуации процесс формирования рисковой надбавки (абсолютной и относительной).

Итак, вероятность страхового случая“p”, размер страховой суммы “S” (выплачивается  полностью  при  наступлении  страхового  случая),  число  договоров  в  портфеле“n”, договор  может  породить  не  более одного  страхового  случая(после  которого  действие  договора прекращается,  но  может  быть  заключен  новый  договор).  Страховая премия вносится единовременно.

Тогда m– случайное число страховых случаев в этом портфеле.  M(m) = np, D(m) = npq. Согласно интегральной теореме Лапласа для биномиального распределения: Это и есть вероятность разорения. (Ясно,  что  эта  теорема  применима  лишь  для  некоторых распределений,  которые  можно  успешно  аппроксимировать нормальным, а для остальных необходимо использовать более общую, а потому и более грубую формулу– неравенство Чебышева.)

Теперь  рассмотрим  суммарную  собранную  рисковую  премию:  npS, и суммарную рисковую надбавку:

И найдем относительную рисковую надбавку:

Первый  множитель  характеризует  требование  к  надежности, второй– степень риска в одном отдельном договоре из этого портфеля, третий– объем  портфеля. (Отметим,  что  произведение  второго  на третий– степень риска для всего портфеля.) Видно, что при прочих равных относительная рисковая надбавка (ее  доля  в  тарифе) увеличивается,  если: -  повышается  требование  к надежности или степень риска в одном договоре(снижается вероятность страхового случая), - уменьшается объем портфеля.

Собранная  страховщиком(единовременная)  брутто-премия состоит  из  трех  частей: -  суммарной  нагрузки  на  ведение  дела(и прибыль  акционеров), суммарной  рисковой  премии(обеспечивающей эквивалентность обязательств сторон и выплату страхового возмещения для среднего числа страховых случаев), суммарной рисковой надбавки (для  обеспечения  возможности  выполнения  страховщиком  своих обязательств, если количество страховых случаев несколько превысит среднее).

В  предположении  о  среднем  числе  страховых  случаев  можно считать,  что  суммарная  рисковая  надбавка  составит«ожидаемую прибыль страховщика». Однако, необходимо сразу оговорить, что эта сумма принадлежит совокупности страхователей (из этого портфеля), а не страховщику. Поэтому она не может быть направлена на дивиденды акционеров или премирование работников.

Эта сумма должна быть использована в интересах страхователей (этого  портфеля). Например,  она  направляется  в  резерв.  Дальнейшее использование которого:

- либо инвестирование(тогда доходы от него используются в интересах клиентов, например, путем снижения взносов);