Дифференцирование изображений. Теорема о дифференцировании изображения

Дифференцирование изображений

Рассмотрим теорему о дифференцировании изображения по аргументу q.

Теорема 8. Если  является оригиналом, а  - ее изображением, то справедливо равенство:

  (1)

Доказательство:

Дифференцируя ряд  по аргументу q, получаем:

Мы поменяли порядок суммирования и дифференцирования. Почленное дифференцирование ряда  возможно, если ряд, состоящий из производных, сходится равномерно.

Для того, чтобы в этом убедиться, определим абсциссу абсолютной сходимости в уравнении (1). Так как ряд

сходится абсолютно в каждой точке, где  и расходится, где .

Здесь справедливо следующее:

Рассмотрим предел под знаком логарифма:

Это значит, что абсцисса абсолютной сходимости ряда  совпадает с абсциссой абсолютной сходимости ряда . И поэтому ряд сходится абсолютно, где выполняется неравенство . Таким образом почленное дифференцирование ряда  допустимо справедлива общая формула дифференцирования изображения: