Анализ устойчивости системы по критериям устойчивости Гурвица и Найквиста

1 ИССЛЕДОВАНИЕ ЛИНЕЙНОЙ ЧАСТИ СИСТЕМЫ

1.1 Принцип работы системы

3

Для выполнения курсовой работы мной была выбрана технологическая схема очистки сточных вод в аэротенках, которая приведена на рисунке 1.

1-  подача неочищенных сточных вод; 2 - аэротенк;

               3 - выпуск иловой   смеси;

4- отстойник; 5- выпуск очищенных сточных вод;

6- выпуск отстоенного активного ила; 7- иловая насосная станция;

8- подача возвратного активного ила; 9- выпуск сточных вод

после первой ступени очистки; 10-  аэротенк 2-ой ступени;

11- выпуск избыточного активного ила.

Рисунок 1 -  Технологическая схема очистки сточных вод в аэротенках

Принцип действия данной системы состоит в том, что сточная вода поступает в аэротенк, где она смешивается с илом и насыщается воздухом. Затем получившаяся иловая смесь поступает в отстойник, где происходит отделение воды от ила. С помощью насоса из отстойника откачивается активный ил и происходит выпуск избыточного активного ила. Так как система является  двухступенчатой, то данный процесс повторяется, после чего происходит выпуск очищенных сточных вод.

1.2  Построение принципиальной схемы

Рисунок 2 – Принципиальная схема

С учётом значений давления в различных элементах системы получим следующую принципиальную схему:

Рисунок 3 – Принципиальная схема со значениями давлений

1.3 Построение  структурной схемы

 Для построения  структурной схемы определим передаточные функции всех элементов системы. Передаточная функция является математической моделью системы в виде вход – выход. Так как аэротенк и отстойник являются ёмкостями, то их передаточная функция будет определяться в виде:         ,

где k – коэффициент передачи, рассчитывается по формуле:  ;

T – постоянная времени, рассчитывается по формуле:  . В ходе курсовой работы примем значение постоянной времени, равное .

Так как на входе первого аэротенка величина давления равна , а на выходе - , то коэффициент передачи будет равен:    k₁=480/500=0.96, тогда T₁=0,05k₁=0,048. В итоге передаточная функция первого аэротенка будет равна:   .

           Так как на входе второго аэротенка величина давления равна , а на выходе - , то коэффициент передачи будет равен: k₄=380/400=0.95, тогда T₄=0,048. В итоге передаточная функция второго аэротенка будет равна:   .

           Так как на входе первого отстойника величина давления равна , а на выходе - , то коэффициент передачи будет равен:    k₂=450/480=0.94, тогда T₂=0,05k₂=0,047. В итоге передаточная функция первого отстойника будет равна:   .

Так как на входе второго отстойника величина давления равна , а на выходе - , то коэффициент передачи будет равен:    k₅=350/380=0.92, тогда T₅=0,05k₅₌0,046. В итоге передаточная функция второго отстойника будет равна:   .

Передаточная функция насоса определяется по выражению:

,

где k – коэффициент передачи  ;

T – постоянная времени: . В ходе курсовой работы примем значение постоянной времени, равное .

Так как на входе первого насоса величина давления равна , а на выходе - , то коэффициент передачи будет равен:    k₃=25/100=0.25, тогда T₃=0,05k₃=0,013. В итоге передаточная функция первого насоса будет равна:   .

Так как на входе второго насоса величина давления равна , а на выходе - , то коэффициент передачи будет равен:    k₆=50/100=0.5, тогда T₆=0,05k₆=0,025. В итоге передаточная функция первого насоса будет равна:   .

В итоге получаем следующую структурную схему:

Рисунок 4 – Структурная схема системы

1.4 Определение устойчивости системы по  критерию устойчивости Гурвица.

Этот критерий формирует условие устойчивости в виде определителя.

Для характеристического уравнения L(p) составляют  определитель, содержащий n строк и n столбцов:

 

По диагонали от левого верхнего до правого нижнего углов вписываются все коэффициенты по порядку от а₁ до a_n. Каждая строка дополняется коэффициентами с возрастающими индексами слева направо так, чтобы чередовались строки с нечетными и четными индексами. В случае отсутствия данного коэффициента, а также если индекс его меньше нуля или больше n, на месте его пишется нуль. Из главного определителя выделяются диагональные миноры:

                           

                       

                        

Критерий устойчивости Гурвица заключается в следующем:

чтобы характеристическое уравнение имело все корни с отрицательной вещественной частью, главный определитель и все диагональные миноры должны иметь значения, большие нуля.

Для того, чтобы определить выражение для характеристического уравнения определим выражение для общей передаточной функции. Используя правила преобразования структурных схем, получим:

Подставляя значения передаточных функций звеньев, получим:

 

Запишем выражение для характеристического уравнения:

          Все коэффициенты характеристического уравнения положительны, значит, необходимое условие устойчивости выполняется.

Составим определитель Гурвица:

Определим значения миноров:

       

           

                  

Вывод об устойчивости:

Все миноры определителя Гурвица положительны, значит, вещественная часть корней характеристического уравнения отрицательна, и система автоматического управления устойчива.

1.5  Определение устойчивости системы по критерию устойчивости Найквиста.