Структура систем массового обслуживания. Входной поток заявок. Приборы (каналы) обслуживания. Показатели эффективности СМО, страница 10

Структурная схема этой системы аналогична схеме системы М/М/1/1, только длина очереди не 1, а m. Граф переходов системы показан на рис. 21.

Система имеет m + 2 состояния:

S₀ –система свободна;

S₁–прибор занят, очереди нет;

S₂– в очереди 1 заявка;

S₃– в очереди 2 заявки;

…

S_m – в очереди m – 1 заявка;

S_m+1– в очереди m заявок (очередной заявке отказ).

 Рисунок 21

Система уравнений:

–λ P₀ + µ P₁ = 0;        

λ P₀ –( λ+µ) P₁ +µ P₂ = 0; 

λ P₁ – ( λ +µ) P₂ + µ P₃ = 0;

…

λ P_m–1 – ( λ +µ) P_m + µ P_m+1 = 0;

λ P_m – µ P_m+1 = 0;

P₀ + P₁ + P₂ + … + P_m + P_m+1 = 1.

Используя результаты, полученные для системы М/М/1/1, здесь будем иметь

P₁ = ρ P₀;

P₂ = ρ² P₀;  

P₃ = ρ³ P₀  ;  

…

P_m = ρ^m P₀;

P_m+1 = ρ^m+1 P₀.   

.

P₀=1/(1+ ρ+ ρ²+ ρ³ +.... + ρ^m+1) = (1 – ρ)/(1 – ρ^m+2), так как в знаменателе снова имеем геометрическую прогрессию с первым членом, равным 1, и знаменателем ρ<>1.

Параметры системы

§  Вероятность простоя системы

P₀= (1 – ρ)/(1 – ρ^m+2),

§  Вероятность потерь

,  ρ<>1.

§  Относительная пропускная способность  (доля обслуженных заявок)

.

§  Абсолютная пропускная способность

А = λq  – интенсивность потока обслуженных заявок.

§  Среднее число заявок в очереди  .

Вероятности соответствующего числа заявок в очереди:

– нет заявок в очереди           P₀ + P₁,     

– одна заявка в очереди         P₂,

– две заявки в очереди           P₃   и т.д.

  = 1ρ²P₀ + 2 ρ³P₀ +...+ m ρ^m+1P₀ = ρ² P₀(1 + 2ρ +...+ mρ^m–1) =

= ρ P₀= .

Ряд, представленный в полученном выражении суммой, можно свернуть, но получаемая при этом формула сложна. Вот что получается

При вычислениях (особенно на компьютере) удобнее воспользоваться выражением

= ρ P₀.

§  Среднее число заявок на обслуживании:

Нет заявок на обслуживании в состоянии S₀, а в остальных состояниях на обслуживании находится одна заявка (и когда нет очереди, и когда она есть!).

 = 0 P₀ + 1(1 – P₀).

Для вероятности 1– P₀ получаем

1 – P₀ = ((1 – ρ^m+2) – (1 – ρ))/(1 – ρ^m+2) = (ρ – ρ^m+2)/(1 – ρ^m+2).

Поэтому

 = (ρ – ρ^m+2)/(1 – ρ^m+2).

§  Среднее число заявок в системе (в очереди и на обслуживании):

.

§  Среднее время ожидания в очереди определяется из следующих соображений.

первая заявка в очереди ждет, пока будет обработана заявка, находящаяся на обслуживании в приборе, вторая заявка в очереди ждет, пока будут обработаны заявка, находящаяся в приборе, и первая заявка в очереди, т.е. пока будут обработаны две заявки, и т.д.

Вероятность нахождения заявки в приборе равна P₁, вероятность нахождения заявки на первом месте в очереди равна P₂ и т.д.

Воспользовавшись формулой оценки математического ожидания случайной величины, получаем

Умножив и разделив это выражение на ρ, получаем

§  Среднее время пребывания заявки в системе

.

2.3. Система без потерь

Это система М/М/1/∞, в которой очередь не ограничена.

Граф переходов и система уравнений здесь бесконечны, поэтому параметры системы получим следующим образом.

Для системы с очередью длины m имеем

Если устремить m к бесконечности, то , так как . Поэтому

 = 1 – ρ;

P₁ = ρ  = ρ(1 – ρ);

P₂ = ρ² = ρ²(1 – ρ);

…

P_k = ρ^k  = ρ^k(1 – ρ).        

…

§     – средняя длина очереди.

Выражение получено следующим образом:

в S₀ и S₁ очереди нет, поэтому

 = 1P₂+2P₃+…+kP_k+ …= 1ρ²(1– ρ) + 2ρ³(1– ρ) +...+kρ^k(1– ρ)+…=

= ρ(1– ρ)(ρ + 2ρ² + 3ρ³ +...+ kρ^k+…) = ρ(1– ρ) ρ/(1– ρ)² = ρ²/(1– ρ).

ПРИМЕЧАНИЕ: Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом ρ и общим членом kρ ^k равна ρ/(1 – ρ)².

§  q = 1 – вероятность того, что заявка будет обслужена, равна 1 (очередь не ограничена, нет потерь);

§  А = λ.

§   = P₀+(1 – P₀) = 0 + (1 – 1+ ρ) = ρ – среднее число заявок на обслуживании.

§  – среднее число заявок в системе.

§  ;                   _обс=1/µ.

§  .

2.4. Система с буфером