Основы теории автоматического управления. Основные термины и определения, страница 6

Круговая частота  является переменной.

Конец радиуса вектора является комплексной характеристикой  будет поворачивать кривую на плоскости.

Геометрическое место точек (ГМТ) конца вектора  при изменении частоты в этих пределах будет называться годографом Найквиста (просто годограф).

Свойства частотной характеристики.

Пусть для фиксируемого значения частоты обобщенный сигнал Х проходит через звено с частотной характеристикой W(jw), тогда

X = X max ejwt             

Х – амплитуда синусоидального сигнала

Y – выходной сигнал

Y = Y max ej(wt+j) (Y – амплитуда, j - фаза),

Тогда W (jw) º =

Частотная характеристика представляет собой комплексное

W (jw) = A(w)ejj     число А(w) и фазой j, причем А(w) – модуль частотной характеристики.

А(w) = , j(w) – разность фаз: j(w)=jY - jХ.

Таким образом, частотная характеристика показывает как изменяется амплитуда входного сигнала при прохождении через звено и как сдвигается фаза входного сигнала в функции частоты.

А(w) – амплитудно–частотная характеристика (АЧХ).

j(w) – фазовая частотная характеристика.

 


Частотную характеристику можно снять экспериментально:

 


x(t) = Xm                                                      

y(t) = Ym sin (wt+w)

 


w

w1

w2

wn

Y

Y1

Y2

Yn

tt

t1

t2

tn

         

W(jw) = P(w) + jQ(w)

ВЧХ: P(w)  МЧХ: Q(w)

              

Представим ВЧХ как вектор на комплексной плоскости:

 Назовем годографом (АФЧХ) частотные характеристики это геометрическое место концов вектора частотной характеристики  при изменении w = 0…¥

Годограф частотной характеристики – геометрическое место концов векторов частотной характеристики при изменении частоты от 0 до ¥

5. Логарифмические амплитудно – частотные характеристики (ЛАЧХ).

Логарифмические фазовые частотные характеристики (ЛФЧХ).

Кроме вышеперечисленных частотных характеристик используют еще логарифмические частотные характеристики (ЛЧХ) – логарифмические амплитудные частотные характеристики (ЛАЧХ) и логарифмические фазовые частотные характеристики (ЛФЧХ).

При построении ЛАЧХ по оси абсцисс откладывают частоту в логарифмическом масштабе: на отметке, соответствующей значению , пишут само значение , а не значение , а по оси ординат  - . ЛФЧХ строят аналогично.

Единицей  является децибел, а единицей логарифма частоты в ЛЧХ – декада. Декадой называют интервал, на котором частота изменяется в 10 раз. При изменении частоты в 10 раз говорят, что она изменилась на одну декаду.

Ось ординат при построении ЛЧХ проводят через произвольную точку, а не через =0. Частоте =0 соответствует бесконечно удаленная точка:  при .

Назовем ЛАЧХ зависимость L(w) º 20 lg a(w)

L(w) – логарифмический коэффициент изменения по амплитуде (ДБ).

            0,001 0,01   0,1     1        10      100    1000

           -60     -40     -20     0        +20    +40    +60

                   

      Ослабление                    Усиление

Изменение амплитуды на 20 ДБ означает изменение сигнала в 10 раз.

Построение ЛАЧХ в логарифмическом масштабе по госту:

 


Зададим начало отчета w0 = 1

Отставание этой частоты от w0 будем изображать:

wх: ,        А – масштаб логического представления частоты.

Порядок построения логарифмических частот:

1.  выбрать начальную частоту (начало отчета w0 )нельзя принимать 0.

2.  выбрать масштаб по частоте А, исходя из интервала частот, которые вы хотите представить, и размера рисунка

3.  Разграфить ось частот пользуясь унифицированным соотношением

Подпись:  w0 = 3дек             

l =150 mm  

Декада – 10- кратное изменение частоты

Октава – 2- кратное изменение частоты

w

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

0.3

0.48

0.6

0.7

0.78

0.85

0.9

0.95

1

ω=0 – точка в бесконечности.

Асимптотические ЛАЧХ – прямые, приближенно заменяющие криволинейные частотные характеристики при логарифмическом масштабе по амплитуде и частоте.

                                                 Наклон асимптоты ЛАЧХ:  , n = 0,1,2,3…

                                                

Диаграммы Боде:

ЛФЧХ особенность: ось ординат представляет фазовый сдвиг в номинальных единицах, в градусах, либо  радианах.

ЛФЧХ совмещается с  ЛАЧХ по оси Х.. 

 


t

3.Характеристики типовых линейных звеньев.

Выше мы определяли звено как математическую модель элемента. Вообще же звеном называют математическую модель элемента, соединения элементов или любой части системы. Звенья, как и системы, могут описываться дифференциальными уравнениями.

  3.1.Типы соединения звеньев

 


Последовательное соединение.

Найти эквивалентную передаточную функцию для последовательного соединения звеньев

 


=?

 ,  , …

 …  можно сократить

 

2

 

4

 

3

 
     2В                    4                  16               48В

                                                                                         

                   K1               K2               K3

Параллельное соединение.

 
                                

 


 
X