Основы теории автоматического управления. Основные термины и определения, страница 20

Рассмотрим связь между z-преобразованием и преобразованием Лапласа

 

Время цикла – время, с которым она считывает и обрабатывает результаты

Z – оператор ДПЛ , где

T- период квантования по времени

P – параметр непрерывного преобразования Лапласа

Связи дискретного преобразования Лапласа и непрерывного преобразования Лапласа.

Представим последовательность  импульсов, площадь которых пропорциональна значениям решетчатой функции

 

nT – смещение функции

Каждая функция  при изменении времени от 0 до  вносит эту сумму в свой вклад 1 раз, когда время равно смещению.

Возьмем обычные преобразование Лапласа

                              

Например преобразование Лапласа

Таким образом мы можем утверждать, что обычное преобразование Лапласа от последовательности импульсов  промодулированной значениями решетчатой функции и является ДПЛ

Значительной разницы между преобразованием Лапласа и ДПЛ нет.

Необходимо пользоваться ДПЛ для того, чтобы для математического описания цифровых систем выполнялось теми же средствами, что и аналоговые системы. При этом сигналы в цифровых системах (коды) нужно представлять себе последовательностью  импульсов.

Таблица соответствия непрерывной функции обычного преобразования

Лапласа и z-изображения

	1		1
		k-целая часть

 

Основные свойства z-преобразования

1. Свойства линейности заключаются в том что преобразования от ∑ равен сумме отдельных преобразований функций.

2. Свойства сдвига оригинала во времени

Сдвиг оригинала на k-тактов в сторону запаздывания приводит к умножению z-изображения на

3. Теорема о начальном значении оригинала

4. Теорема о конечном значении оригинала

8.4Разностные уравнения

Представим себе цифровую систему управления, на входе которой действует решетчатая функция управления

 

Чтобы связать входной и выходной сигналы нужно иметь средства. Для линейных алгоритм цифрового управления выходная последовательность кодов связана со входным разностным уравнением

Разностное уравнение

m, n, l, r – связаны между собой следующим соотношением:

l=r-m

n – текущее дискретное время, которое указывает на последовательный сформированный регулятором отчет

левые части                         l-r-m – правая часть

Все линейные алгоритмы могут быть описаны таким разностным уравнением, поэтому оно имеет общий характер.

приращение функции

Аналогично дифференциальному уравнению

Условие причинности, физическая реализуемость

 - будущие значения переменных

8.3 Дискретная передаточная функция

Дискретную передаточную функцию будем характеризовать цифровым устройством.

Выполним z-преобразование от левой и правой части разностного уравнения, при этом используем свойство линейности, поэтому в каждой части уравнения появляется сумма преобразования от слагаемого уравнения.

Кроме того, используется теорема о сдвиге оригинала, поэтому каждое слагаемое будет иметь множитель, отображающий сдвиг этого слагаемого

Понятие передаточной функции и дискретной передаточной функции введено только для нулевых начальных условий

Начальные условия будут выглядеть следующим образом

 

8.6 Переход от дискретного преобразования функции к разностному уравнению

Пусть задана дискретная передаточная функция в следующем виде и она описывается цифровым регулятором

 Получить алгоритм работы регулятора в виде разностного уравнения:

1) Преобразуем дискретную передаточную функцию

2) разделение на старшую степень знаменателя

Цель этого: получить в левой и правой части отрицательную степень:

3) Переходим к оригиналам, используя теорему сдвига

4) Выделим выходной сигнал на текущий момент времени

r – самый старший показатель

Регулятор имеет рекуррентный (возвратный) выходной сигнал.

Получим уравнение позволяющее рассчитывать выходной сигнал регулятора по коэффициенту дискретной передаточной функции и дискретным значениям входного и выходного сигнала задержанным на несколько тактов. Фактически это алгоритм работы цифрового регулятора.

8.5 Условие физической реализуемости цифрового регулятора

Обратим внимание на величину максимального сдвига входного сигнала на величину сдвига , где - старшая степень полинома знаменателя ДПФ, - старшая степень числителя.

Ясно, что  должно быть

, означает использование в алгоритме будущих значений входного сигнала.

Требование , означает что , т.е. старшая степень знаменателя не меньше старшей степени числителя.

8.6 Пример расчета переходного процесса в дискретном звене (регуляторе).

Аппарат ДПФ удобно использовать для расчета переходного процесса, так называемым разностным методом.

 

Найти: уравнение алгоритма такого звена и построить переходную функцию, т.е. реакцию на дискретное единичное ступенчатое воздействие