Измерительные медицинские системы. Источники погрешностей при аппаратурных измерениях в медицине, страница 9

В [16] измерительной шкалой называют «гомоморфное отображение свойств математическим пространством». В работе [16] шкалой называют совокупность правил, которые позволяют выполнить сопоставление W (установить гомоморфизм) эмпирической системы E в числовую систему N(, где M – множество чисел, а P_i – отношения на числах), т. е. шкала представляется тройкой <>.

При этом неизвестные свойства объекта сравниваются с эталонными свойствами до тех пор, пока не найдется символ, моделирующий исследуемое свойство.

При использовании таких, более «компромиссных», определений понятий шкалы нетрудно видеть принципиальное сходство взглядов на измерения сторонников физического и математического направлений. Имеющиеся различия хотя и существенны (вместо физических моделей используются математические), однако неизбежны в силу специфической природы объектов измерений с которыми приходится иметь дело при экономических, социальных, психологических и т. п. «нефизических» измерениях.

Различают, главным образом, четыре вида шкал: шкалу наименований (номинальная, номинативная); шкалу порядка (порядковая); интервальную шкалу (интервальная); шкалу отношений (масштабная). Иногда к ним добавляют пятую, абсолютную (натуральную) шкалу.

Интенсивно развиваемая в последние годы теория шкал измерений базируется на следующей аксиоматической основе.

Тождества.

1. Либо , либо .

2. Если , то .

3. Если  и , то .

Ранговый порядок.

4. Если , то  (асимметричность).

5. Если  и , то  (транзитивность).

Аддитивность.

6. Если  и , то .

7. .

8. Если  и , то .

9. .

Шкала наименований базируется на аксиомах 1, 2, 3. Это качественная, т. е. нечисловая шкала, представляющая собой множество неких наименований. Допускает некоторые статистические операции: подсчитать число индивидов каждого наименования, определить частоту (относительное количество) индивидов каждого наименования, найти наименование с наибольшим количеством (мода) индивидов. Допустимы любые преобразования шкалы.

Шкала порядка базируется на аксиомах 1-5 и также не является числовой (примеры: упорядочение по порядку возрастания номеров, в алфавитном порядке и т. п.). Различают три вида шкал порядка: шкалу простого порядка; шкалу слабого порядка: (либо , либо , если  и , то ); шкалу частичного порядка (некоторые элементы множеств несравнимы).

Допустимые математические операции: частоты, моды, медианы, центили, коэффициенты ранговой корреляции. Интервалы между элементами шкал порядка различны. Допустимы монотонные преобразования шкалы (логарифмирование, возведение в степень и др.).

Примерами применения порядковых шкал в медицине являются: шкала стадий гипертонической болезни по Мясникову, шкала степеней сердечной недостаточности по Стражеско-Василенко-Лангу, шкала выраженности коронарной недостаточности по Фогельсону.

Шкала интервалов является числовой равномерной: интервалы между элементами шкалы равны. Более того, эти интервалы сами могут быть упорядочены (дважды упорядоченные шкалы). Шкала допускает преобразования вида , где ,  – действительное число, что означает относительность нулевой точки шкалы. Как следствие – измеряемые по этой шкале величины нельзя делить, умножать, складывать и вычитать (например, вопрос «во сколько раз горячее?» некорректен, поскольку измерения, например, по шкалам Цельсия и Фаренгейта будут приводить к различным ответам). Допустимые математические операции те же, что и для шкалы порядка, а также: математическое ожидание среднеквадратическое отклонение, коэффициент асимметрии, смешанные моменты. Недопустимо вычисление коэффициента вариации из-за зависимости результата от выбора нулевой точки шкалы.

Шкала отношений является числовой, равномерной, нуль шкалы «естественен». Допустимы все арифметические и статистические операции. Допустимо преобразование шкалы вида , где .