Диффузия в металлах. Феноменологическая теория диффузии. Атомная теория диффузии, страница 3

Общее решение уравнения диффузии практически используется редко, так как имеется мало практических задач, в которых требуется рассчитать изменение со временем распределения концентрации в телах достаточно больших размеров. Однако оно используется для получения частных решений.

Решение для диффузии из бесконечно тонкого слоя.

В этом случае распределение концентрации имеет вид

                           (5.6)

где q – количество вещества приходящееся на 1 см² слоя.

Функция ехр(-х²/4Dt) четная, поэтому распределения концентрации, создаваемое бесконечно тонким слоем  в обоих полупространствах, симметрично относительно начала координат или середины слоя. Со временем начальное распределение постепенно расплывается, оставаясь симметричным относительно х=0. Величина максимума кривой распределения в точке х=0  уменьшается обратно пропорционально корню квадратному из времени (рисунок 5.1а).

Решение для диффузии из слоя конечной толщины. Распределение концентрации при толщине слоя 2h имеет вид

          (5.7)

где erf – функция ошибок Гаусса:

                        ()

Из графика функции с(x,t) (см. рисунок 5.1б) видно, что при t→ концентрация всюду обращается в нуль, так как конечное  количество вещества q=2c₀h распределяется по бесконечной области.

Решение для диффузии из полубесконечного пространства. Начальное распределение концентрации задано так, что при всех х<0 с(х,0)=с₀ , а при всех х>0 с(х,0)=0. Для этого случая решение имеет вид

                          (5.8)

Следует отметить, что для всех t>0 концентрация в плоскости раздела (х=0) постоянна и равна с₀/2 (см. рисунок 5.1, в).

Некоторые общие закономерности. Выше отмечено, что значение максимума на кривой распределения концентрации при диффузии из бесконечно тонкого слоя уменьшается обратно пропорционально корню квадратному из времени. При диффузии из слоя конечной толщены наблюдается тот же эффект, но он становится заметны через значительно большее время. Теперь определим, по какому закону изменяется расстояние до плоскости, в которой концентрация в е раз меньше, чем в плоскости х=0. При х=0 с(0,t)=В плоскости, где концентрация в е раз меньше, с(х,t)=с(0,t)/е. Приравнивая концентрации в обеих рассматриваемых плоскостях, получаем

                            с(0,t)/е=(                     ()

Рисунок 5.1 – Распределение концентрации при диффузии из бесконечно

 тонкого слоя в тело неограниченных размеров (а); из слоя конечной

толщины в тело неограниченных размеров (б); из полубесконечного

пространства (в)

Решая это уравнение относительно х₁, получаем

                                        (5.9)

т.е. расстояние между этими плоскостями изменяется пропорционально корню квадратному из времени.

При решении уравнения диффузии предполагалось, что материал в направлении диффузионного потока имеет бесконечную протяженность.

Произведем оценку размера тела, который может считаться бесконечно большим. Для этого зададимся количеством продиффундировавшего вещества, которым можно пренебречь начиная с какого-то размера тела х₁.

Тогда общее количество вещества продиффундировавшее за время t, равно. Количество же вещества, которым условились пренебречь,

                                 (5.10)

Искомую величину Х₁ можно найти из заданного отношения q₂!q₁.

Если q₂/q_l=10^-2, т. е. составляет 0,1%, то x₁=4√Dt. Другими словами, при протяженности тела большей 4√Dt  условие бесконечности выполняется. Следует иметь в виду, что х₁ зависит от D и от времени. Поэтому для разного времени требуемая протяженность материала разная.

Здесь рассмотрены лишь некоторые решения уравнения диффузии, наиболее часто встречающиеся и на практике.

Решение уравнения диффузии при переменном значении коэффициента диффузии. Рассмотренные примеры решения диффузионного уравнения справедливы только для постоянного значения D. В реальных экспериментах D может зависеть от состава, и, поскольку есть градиент концентрации, должен меняться от точки к точке. Второе уравнение Фика для случая, когда  D=D(c(x)]=D(x), имеет вид