Учебно-справочное руководство по статистическим расчетам в изучении курса "Математическая статистика", страница 4

3. Используя метод “условного нуля”, определить числовые характеристики выборок по каждому признаку: выборочное среднее; выборочную дисперсию; исправленную выборочную дисперсию; исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение. Дать объяснение полученным результатам.

4. Для каждого признака построить 99% или 95% доверительные интервалы для оценки генеральных средних, генеральных средних квадратических отклонений. Дать объяснение полученным результатам.

5. При уровне значимости a=0,05 или a=0,1 проверить гипотезы о нормальных законах распределения генеральных совокупностей по каждому признаку.

6. Для признаков X и Y построить корреляционное поле, эмпирическую ломанную регрессии и дать предварительный анализ зависимости между признаками.

7. Для признаков X и Y вычислить эмпирический коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.

8.  Определить параметры уравнения линейной регрессии.

9. Определить коэффициент корреляции и проверить его на значимость. Сделать вывод о наличии линейной связи между признаками.

10. Составить нелинейное уравнение регрессии, выбрав подходящий тип нелинейности.

11. Построить полученные линии регрессии в одной системе координат.

12. Для всех моделей рассчитать теоретический коэффициент детерминации и теоретическое корреляционное отношение; среднюю квадратическую погрешность уравнения; среднюю относительную погрешность аппроксимации.

13. Используя лучшее из полученных уравнений регрессии дать точечный прогноз  значения У при мощности пласта X = 1,8м .

Решение задачи начнем с проверки исходных данных. Построим корреляционное поле, в котором будут представлены 52 точки (объем выборки  n = 52).

 


Из построенной диаграммы видим, что две точки (0,83; 14) и (1,5; 1) “выскакивают” из общей совокупности. Анализ исходных данных с позиции возможности большой  производительности (у=14 т/вых) при малой мощности пласта   (х = 0,83 м) и малой производительности (у=1 т/вых) при большой мощности пласта (х=1,5 м) позволяет отнести эти точки к ошибочным и исключить их из дальнейшего рассмотрения. Следовательно, объем выборки на этом этапе принимается n = 50.

Продолжим решение задачи.

а) Для признака Х  определим наибольшее и наименьшее значение признака:   Xmin=0,85 ;   Xmax=1,53  ;     

Число интервалов разбиения определим по формуле Стэрджесса:

k =1 + 3,322× lg n =  1 + 3,322× lg 50 = 6,6 » 7.

Найдем шаг разбиения  h = (Хmax – Xmin) / k.

В данном случае  h = (1,53 – 0,85) / 7 = 0,097. Примем  h  = 0,1.

Произведем группировку данных для признака Х. Для этого подсчитаем, сколько значений признака Х  попадет в каждый из интервалов разбиения. Причем, при совпадении значения признака с одной из границ интервала, включаем это значение в  левый   интервал. Результаты группировки заносим в табл.2.  В третьем столбце таблицы заносятся штриховые отметки. Это удобный прием подсчета частот. Начинают с первого элемента выборки. В нашем случае он равен 1,13. Затем находят интервал (1,05 – 1,15), в который это наблюдение попадает, и ставят в третьем столбце штриховую отметку. Остальные наблюдения обрабатывают аналогично в том порядке, в котором они представлены в начальной выборке.

Если пользователь может использовать табличный процессор Excel, то после ввода  признака Х можно данные рассортировать в порядке возрастания, и тогда штриховые отметки не понадобятся.

б)  Для признака У  определим наибольшее и наименьшее значение признака:  уmin=3,2 ;       уmax=13,5  Число интервалов разбиения определим по формуле Стэрджесса:

k =1 + 3,322× lg n =  1 + 3,322× lg 50 = 7

Найдем шаг разбиения  h = (ymax – ymin) / k.

В данном случае  h = (13,5 – 3,2) / 7 = 1,471. Примем  h  = 1,48.

Произведем группировку данных для признака У. Результаты группировки заносим в табл.3


Таблица 2  Обработка признака Х

Интервалы

Штриховая отметка

Частоты   ni

Середина

интервала хi

Частости 

Ордината гистогр.

Накопленные частоты

Ордината кумуляты

1

0,85 - 0,95

IIIIII

6

0,9

0,12

1,2

6

0,12

2

0,95 -1,05

IIIIIII

7

1

0,14

1,4

13

0,26

3

1,05 -1,15

IIIIIIIIIIIIIIIIIIII

20

1,1

0,4

4

33

0,66

4

1,15 -1,25

IIIIII

6

1,2

0,12

1,2

39

0,78

5

1,25 -1,35

IIIII

5

1,3

0,1

1

44

0,88

6

1,35 -1,45

III

3

1,4

0,06

0,6

47

0,94

7

1,45 -1,55

III

3

1,5

0,06

0,6

50

1

S

50

1

10

Таблица 3    Обработка признака У

Интервалы

Штриховая  отметка

Частоты   ni

Середина

интервала yi

Частости 

Ордината гистогр.

Накопленные частоты

Ордината кумуляты

1

3,2 - 4,68

IIIII

5

3,94

0,1

0,068

5

0,1

2

4,68 - 6,16

IIIIIIIIIIII

12

5,42

0,24

0,162

17

0,34

3

6,16 - 7,64

IIIIIIIIIIIIII

14

6,9

0,28

0,189

31

0,62

4

7,64 - 9,12

IIIIIIIIII

10

8,38

0,2

0,135

41

0,82

5

9,12 - 10,6

IIII

4

9,86

0,08

0,054

45

0,9

6

10,6 -12,08

III

3

11,34

0,06

0,041

48

0,96

7

12,08-13,56

II

2

12,82

0,04

0,027

50

1

S

50

1

0,676