Учебно-справочное руководство по статистическим расчетам в изучении курса "Математическая статистика", страница 35

Б)  Для признака У  определим наибольшее и наименьшее значение признака:  Уmin=60 ;        Уmax=158  ;      объем выборки n = 49.

Найдем шаг разбиения  h = (Уmax – Уmin) / К.

В данном случае  h = (158-60 )/ 7 = 14.

Произведем группировку данных для признака У. Результаты группировки заносим в табл.2, которая представляет статистический ряд по признаку У.

    Таблица 2

Интервал

60 - 74

74 - 88

88-102

102-116

116-130

130-144

144-158

y  i

67

81

95

109

123

137

151

  ni

10

9

10

6

5

4

5

 Проверка :  10+9+10+6+5+4+5=49.  Верно.


2.  А)  Построим полигон  и  гистограмму частот по признаку Х .

Б)  Построим полигон  и гистограмму частот по признаку У


3.  А) Определим числовые характеристики выборки по признаку Х.

Используем метод “условного нуля ”. Выберем условный нуль из статистического ряда  признака : С = 2,9 .

Переходим к условным вариантам  по формуле: ui = (xi –C)/h, где h = 0,6.

 Далее заполняем специальную таблицу.

i

интервалы

xi

ni

ui

ni× ui

ni× ui2

ni× (ui + 1)2

1

0,8 -1,4

1.1

14

-3

-42

126

56

2

1,4 -2

1.7

7

-2

-14

28

7

3

2 -2,6

2.3

5

-1

-5

5

0

4

2,6 - 3,2

2.9

7

0

0

0

7

5

3,2 - 3,6

3.5

6

1

6

6

24

6

3,6 - 4,4

4.1

8

2

16

32

72

7

4,4 - 5

4.7

2

3

6

18

32

итого

49

-33

215

198

Для проверки правильности вычислений используем тождество:

           åni(ui+1)2 = åniui2 + 2åniui + n

  Получим:    198 = 215 + 2·(–33) + 49

                         198 = 198    – верно.

Из таблицы находим условные моменты:

М1 = åniui / n = -33/49 = –0,6735

М2 = åniui2 / n = 198/49 = 4,3878;

Выборочная средняя равна:  = М1·h + C =  –0,6735×0,6 + 2,9 = 2,50

Выборочная дисперсия равна:

Dв = [M2  - (M1)2]·h2=  [4,3878 – (-0,6735)2]·0,62 = 1,4163         

Выборочное среднее квадратическое отклонение равно

 1,19

Вычислим исправленную выборочную дисперсию

S 2 =  1,4458

Вычислим исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение:

 1,2024.  Обозначим результат  S x = 1,2 .  

Полученные результаты позволяют сделать следующие выводы.

Средняя скорость подвигания очистного забоя по выборке равна 2,5 м/сут. Средний разброс скорости подвигания очистного забоя вокруг среднего по выборке равен 1,2 м/сут.

 Б)  Аналогично  определяем  числовые характеристики выборки по признаку У .   Выберем условный нуль С = 109 ; h = 14.

i

интервалы

уi

ni

ui

ni× ui

ni× ui2

ni× (ui + 1)2

1

60 - 74

67

10

-3

-30

90

40

2

74 - 88

81

9

-2

-18

36

9

3

88-102

95

10

-1

-10

10

0

4

102-116

109

6

0

0

0

6

5

116-130

123

5

1

5

5

20

6

130-144

137

4

2

8

16

36

7

144-158

151

5

3

15

45

80

итого

49

-30

202

191

Проверка:        191 = 202 + 2·(–30) + 49  –  верно.

Из таблицы находим условные моменты:

М1 =  -30/49 = –0,6122;

М2 = 202/49 = 4,1224;

Выборочная средняя равна:  =  –0,6122×14 + 109 = 100,43

Выборочная дисперсия равна:

Dв = [M2  - (M1)2]·h2=  [4,1224 – (-0,6122)2]·142 = 734,5306           

Выборочное среднее квадратическое отклонение равно

=27,1022.

S 2 =  749,8333

27,383 . Обозначим результат  S у = 27,383 .

Полученные результаты позволяют сделать следующие выводы.

Средняя величина опускания кровли по выборке равна 100,43 мм. Средний разброс величины опускания кровли  вокруг среднего по выборке равен 27,383мм.

4.  Проверим гипотезу о нормальном распределении признака Х.  Выдвинем гипотезы

     Н0:  Признак Х подчиняется нормальному закону распределения      

     Н1:  Признак Х не подчиняется нормальному закону распределения

Для проверки гипотез используем критерий Пирсона. В качестве исходных данных берем интервальный ряд признака Х, полученный в п1. решения данной задачи и характеристики выборки признака Х, найденные в п.:

    =2,5;    Sx =1,2

Далее  заполним таблицу по формулам:  

z i = (х i)/Sх ;   z i+1 = (х i+1)/Sх .

Теоретические частоты найдем по формуле:  ni*=n×[Ф(zi+1) – Ф(zi)], где  функция Ф(z) вычисляется по таблице.