Учебно-справочное руководство по статистическим расчетам в изучении курса "Математическая статистика", страница 17

i

X

Y

X^2

X^3

X^4

XY

X^2Y

1

1.13

8.4

1.2769

1.443

1.6305

9.492

10.73

2

1.14

7.1

1.2996

1.482

1.689

8.094

9.227

3

1.13

7.7

1.2769

1.443

1.6305

8.701

9.832

4

1.13

7.6

1.2769

1.443

1.6305

8.588

9.704

5

1.14

8.2

1.2996

1.482

1.689

9.348

10.66

6

1.09

6.9

1.1881

1.295

1.4116

7.521

8.198

7

1.53

10.9

2.3409

3.582

5.4798

16.68

25.52

8

1.5

11.4

2.25

3.375

5.0625

17.1

25.65

9

1.44

13.5

2.0736

2.986

4.2998

19.44

27.99

10

1.39

9.5

1.9321

2.686

3.733

13.21

18.35

11

1.5

9.2

2.25

3.375

5.0625

13.8

20.7

49

1.15

9.8

1.3225

1.521

1.749

11.27

12.96

50

1.29

6.1

1.6641

2.147

2.7692

7.869

10.15

Сумма

57.49

361.9

67.4615

80.785

98.6948

428.634

518.2944

 Используя формулу (9), пункт 2.5.7, составим линейную систему:

50a+

   57,49b+

67,4615c

=

361,9

57,49a+

67,4615b+

80,7851c

=

428.634

67,4615a+

80,7851b+

98,6948c

=

518.2944

Решим систему по правилу Крамера. Вычислим главный и вспомогательные определители системы:

50

57.49

67.4615

D =

57.49

67.4615

80.7851

 = 3.8868

67.4615

80.7851

98.6948

361.9

57.49

67.4615

D1 =

428.634

67.4615

80.7851

= 21.5367

518.2944

80.7851

98.6948

50

361.9

67.4615

D2 =

57.49

428.634

80.7851

= -23.8198

67.4615

518.2944

98.6948

50

57.49

361.9

D3 =

57.49

67.4615

428.634

= 25.1881

67.4615

80.7851

518.2944

Запишем решение системы по правилу Крамера:

a = D1/D=5,541; b = D2/D=–1,128; c = D3/D=6,48.

Следовательно, уравнение нелинейной параболической регрессии имеет вид :

            = 5,541 –6,128х +6,48х2   .

Пункт 11. Построим полученные линии регрессии в одной системе координат.

Здесь сплошная линия представляет линейную регрессию, а пунктирная линия  – параболическую регрессию.

Пункт 12. Для всех моделей рассчитаем теоретический коэффициент детерминации и теоретическое корреляционное отношение; среднюю квадратическую погрешность уравнения; среднюю относительную погрешность аппроксимации.

Используем уравнение линейной регрессии   = 9,21×х – 3,36

и параболической регрессии   = 5,541 –6,128х +6,48х2, вычислим теоретические значения признака У. Заполним таблицы.

Для краткости записей расчетные таблицы приводим не полностью.

а) Для линейной регрессии   = 9,21×х – 3,36

i

xi

уi

yiтеор

δi=yiтеор – yi

δi2

÷δi / yi÷

1

1.13

8.4

7.0473

-1.3527

1.8298

0.1610

0.0364

2

1.14

7.1

7.1394

0.0394

0.0016

0.0055

0.0097

3

1.13

7.7

7.0473

-0.6527

0.4260

0.0848

0.0364

49

1.15

9.8

7.2315

-2.5685

6.5972

0.2621

0.0000

50

1.29

6.1

8.5209

2.4209

5.8608

0.3969

1.6458

Сумма

57.49

361.9

361.4829

-0.4171

139.096

10.8476

115.3217

Для дальнейших расчетов используем формулы (8), (11), (12),

 где  Dобщ = σy2 = 2,25572 = 5,088 .

Получим:  Dобъясн уравн = 115,3217/50 = 2,306;

теоретический коэффициент детерминации

                     R2 = 2,306/5,088 =0,453

теоретическое корреляционное отношение

средняя относительная погрешность аппроксимации

      ε = 10,8476×100/50= 21,7%;

средняя квадратическая погрешность уравнения

      т/вых.

б) Для параболической регрессии   = 5,541 –6,128х +6,48х2

i

xi

уi

yiтеор

δi=yiтеор – yi

δi2

÷δi / yi÷

1

1.13

8.4

6.8907

-1.5093

2.2781

0.1797

0.1206

2

1.14

7.1

6.9765

-0.1235

0.0153

0.0174

0.0684

3

1.13

7.7

6.8907

-0.8093

0.6550

0.1051

0.1206

49

1.15

9.8

7.0636

-2.7364

7.4879

0.2792

0.0304

50

1.29

6.1

8.4192

2.3192

5.3789

0.3802

1.3953

Сумма

57.49

361.9

361.9018

0.0018

136.693

10.6881

117.7176