Учебно-справочное руководство по статистическим расчетам в изучении курса "Математическая статистика", страница 13

а) Уравнение линейной регрессии с угловым коэффициентом

Уравнение линейной регрессии У на Х имеет вид:

, (3)

где k – коэффициент регрессии, b – свободный член уравнения регрессии. Параметры уравнения регрессии определяются по фактическим данным, которые представляют собой набор n пар

(х_i ;y_i), при помощи метода наименьших квадратов (МНК).

Расчетные формулы имеют вид:

. (4)

Если учесть формулы средних и дисперсии признаков Х и У, то расчет можно вести по следующим формулам:

, (5)

где

Замечание 1. Для проверки правильности расчетов можно использовать тождество:

Замечание 2. В формулах (5) можно использовать выборочные средние и дисперсии, найденные ранее на этапе одномерного анализа признаков, хотя с учетом группировки может получиться менее точный результат (хотя и более быстрый).

Расчет сумм, представленных в формулах, удобно производить при помощи табличного процессора Excel, который является электронной версией таблиц. Для расчета в Excel необходимо организовать расчетную таблицу. Ее вид в компьютере будет следующий (для примера взята выборка объемом n = 5):

б) Выборочное линейное уравнение регрессии

Выборочное линейное уравнение регрессии У на Х имеет вид:

(6)

Выборочное линейное уравнение регрессии Х на У имеет вид:

(7)

В этих уравнениях используются следующие формулы:

дисперсия признака Х;

дисперсия признака У;

r_в – выборочный коэффициент корреляции, вычисляемый по формуле:

. (6)

Если параметры уравнения были рассчитаны по уравнению регрессии с угловым коэффициентом, то выборочный коэффициент корреляции вычисляется по формуле: (7)

5.5 Проверка коэффициента корреляции на значимость.

Пусть признаки Х и У распределены нормально. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n и по ней найден выборочный коэффициент корреляции r_в . Требуется проверить гипотезу о значимости генерального коэффициента корреляции r_г .

Выдвигаются гипотезы

Основная гипотеза Н₀ : r_г = 0

Конкурирующая гипотеза Н₁ : r_г ≠ 0

Для проверки гипотезы H₀ вычисляется наблюдаемое значение критерия:

Этот критерий является случайной величиной, которая подчиняется закону распределения Стьюдента с k = n – 2 степенями свободы. Критическая область является двусторонней. По таблице критических точек распределения Стьюдента (Приложение 6) определяется критическое значение критерия при выбранном уровне значимости ошибки a и числе степеней свободы k :

t_кр = t_кр (α; k).

Если Т_набл > t_кр , то нулевая гипотеза отвергается. Это значит, что коэффициент корреляции значимо отличается от нуля и признаки Х и У коррелированы.

Если Т_набл < t_кр , то нулевая гипотеза не отвергается. Это значит, что коэффициент корреляции незначимо отличается от нуля и признаки Х и У некоррелированы.

5.6 Теоретический коэффициент детерминации и теоретическое корреляционное отношение

Теоретический коэффициент детерминации и теоретическое корреляционное отношение определяются по уравнению регрессии :

, где D_{обїясн уравн регр} – дисперсия результативного признака У, объясненная уравнением регрессии; D_общ – общая дисперсия результативного признака У .

(8)

n – объем выборки;

y_i – индивидуальные значения результативного признака У;

– среднее значение признака У;

y_i^теор – индивидуальные значения результативного признака У, рассчитанные по уравнению регрессии: y_i^теор=f(x_i); если уравнение регрессии линейное, то y_i^теор=kx_i + b, а корреляционное отношение совпадает с модулем коэффициента корреляции η = êr_в ê, коэффициент детерминации равен R²= r_в² .

Коэффициент детерминации характеризует тесноту связи между признаками. В количественной форме он указывает какая часть общей дисперсии результативного признака У объясняется вариаций признака Х. Например, если построена статистическая модель, описывающая зависимость объема суточной добычи (У) от мощности пласта (Х) и коэффициент детерминации равен 0,56, то это значит, что 56% дисперсии объема суточной добычи объясняется по выбранной модели вариацией мощности пласта.

Для получения выводов о практической значимости синтезированной модели используются качественные оценки, которые даются на основе шкалы Чеддока [8].

R²	0,1 – 0,3	0,3 – 0,5	0,5 – 0,7	0,7 – 0,9	0,9 – 0,99
Характеристика силы связи	слабая	умеренная	заметная	высокая	весьма высокая

5.7 Нелинейная корреляция

Если график регрессии – кривая линия, то корреляцию называют криволинейной. Параметры уравнения криволинейной регрессии находят по методу наименьших квадратов, а в некоторых случаях сводят задачу к линейной регрессии путем введения соответствующих замен. Ниже приводятся наиболее типичные случаи криволинейной регрессии.