Решение алгебраических и трансцендентных уравнений. Метод сеток решения уравнений параболического типа, страница 16

а на границе области D при x = 0 и x = 1 условиям

, (3)

. (4)

Функции считаются известными.

Считаем, что задача (1)-(4) имеет единственное решение , непрерывное в области D вместе со своими частными производными , и .

Выберем прямоугольную равномерную сетку и заменим область D, в которой поставлена задача (1)-(4), сеточной областью . Область представляет собой совокупность точек (узлов) , координаты которых определяются по правилу

(5)

Узлы, лежащие на прямых x = 0, x = 1 и t = 0, t = T, считаются граничными узлами, все остальные – внутренними.

Для замены частных производных в уравнении (1) разностными отношениями рассмотрим разложение функции в ряд Тейлора:

(6)

Отсюда

или

, ££, (7)

где - погрешность первого порядка по шагу, т. е. .

. (8)

Таким образом

, ££, (9)

где - погрешность первого порядка по , т. е. .

Чтобы получить еще один вид аппроксимации производной конечно-разностными соотношениями, из (6) вычтем (8):

, ££, (10)

где - погрешность аппроксимации второго порядка по , т. е. .

Далее разложим функцию в ряд Тейлора

(11)

(12)

Если сложить (11) и (12), то получим разностное отношение для замены второй производной

. (13)

где - погрешность аппроксимации второго порядка по шагу h, т. е. .

Для одной и той же задачи можно составить несколько разностных схем. В качестве примера рассмотрим следующую схему:

для внутренних узлов сетки

для граничных узлов

, .

Учитывая, что в узлах сетки , получим

, (14)

, (15)

, . (16)

Разностная схема (14)-(16) является устойчивой при условии . Погрешность аппроксимации такой схемы порядка .

При реализации разностной схемы на первый план выходит свойство устойчивости схемы. Разностную схему называют устойчивой, если вычислительная погрешность при переходе от одного слоя к другому (в процессе вычислений) не возрастает; если же вычислительная погрешность быстро растет, то схема называется неустойчивой.

Можно привести еще одну разностную схему для задачи (1):

. (17)