Решение алгебраических и трансцендентных уравнений. Метод сеток решения уравнений параболического типа, страница 14

Выразим ,  через значения функции  в узлах , т. е. через значения .

Для этого воспользуемся разложением в ряд Тейлора.

                                                                                       (23)

Отсюда

,                                                           (24)

где .

Так как полагаем , то можем записать

 + , (так называемая правая производная)                     (25)

где  - погрешность первого порядка по шагу.

                                                                                       (26)

,                                                             (27)

где .

 + ( левая производная).                                       (28)

Из (23) вычтем (26) и после небольших преобразований получим

.

Отсюда

,                                                       (29)

где .

 + (центральная производная).                       (30)

Сложив (23) и (26), получим симметричное выражение для

.

Отсюда выражение для  будет иметь вид

,                                        (31)

где .

 + .                                                          (32)

Это не единственно возможные выражения для  и . Исследуя значения  в других точках, кроме рассмотренных , можно получить другие выражения для производных, но они будут и более сложными.

Заменив в уравнении (20) производные  и выражениями (30) и (32), получим

.                            (33)

Таким же образом заменяем производные  и  в граничных условиях (21).

, . Такие замены производных в граничных точках имеют погрешность порядка .

Можно получить более точные формулы для аппроксимации (замены) производных в граничных точках. Для этого рассмотрим разложение в ряд Тейлора  и .

                                                                                           (34)

                                                                              (35)

Далее (34) умножим на 4 и из  вычтем . После небольших преобразований получим

,                                                  (36)

где .

Аналогично получим выражение для :

,                                               (37)

где .

Выражения (36) и (37) имеют погрешность второго порядка по шагу, т.е..

Метод редукции к задаче Коши двухточечной краевой задачи

Рассмотрим на отрезке [a, b] граничную задачу для дифференциального уравнения

                                                                   (38)

с условиями

,                                                                         (39)

где p(x), q(x), f(x) непрерывны на отрезке [a, b].

Решение уравнения (38), удовлетворяющее краевым условиям (39), будем искать в виде

,                                                                        (40)

где  - решение соответствующего однородного уравнения

,                                                                   (41)

а  - частное решение неоднородного уравнения

 .                                                              (42)

Подставим (40) в первое условие граничной задачи 39), получим

.                                           (43)

Для того, чтобы равенство (43) было справедливо при любом с, необходимо и достаточно, чтобы сомножитель  = 0 и должны выполняться следующие равенства:

 = 0,                                                               (44)

.                                                                (45)

Положим

,                                                       (46)

где постоянная k отлична от нуля.

Если , то

,                                                              (47)

если , то

.                                                               (48)

Видно, что  является решением задачи Коши для однородного уравнения (41), удовлетворяющим начальным условиям (46), а  - решение задачи Коши для неоднородного уравнения (42), удовлетворяющее начальным условиям (47) или (48).

Теперь подставим (40) во второе условие граничной задачи (39) и выразим постоянную с

.                                                         (49)

При этом предполагается, что . Если выполнено это условие, то краевая задача (38)-(39) имеет единственное решение, в противном случае она или совсем не имеет решений, или их бесчисленное решение.