Особенности обобщения на математическом материале, страница 8

Можно выделить два типа обобщения:

Ø обобщение через прямую аналогию;

Ø обобщение путем сравнения свойств объектов.

Второй способ вывода утверждения 1

Известен признак делимости на 11 для двухзначных чисел. Рассмотрим структуру произвольного трехзначного числа кратного 11, например 957=11*87:

Мы представили число в виде суммы трех слагаемых. Ясно, что все число будет делиться на 11, если каждое слагаемое будет делиться на 11. В нашем разложении ни одно слагаемое не делится на 11. Но мы знаем, что число 957 делится на 11, следовательно, существует представление этого числа в виде суммы, каждое слагаемое которой будет делиться на 11. Попытаемся найти это представление. Преобразуем известное выражение:

Первые два слагаемых делятся на 11. Причем это будет верно для любого числа, так как делимость этих слагаемых определяется множителями 11 и 99, которые не зависят от цифр исследуемого числа. Оставшееся же слагаемое (9-5+7) зависит от цифр представляемого числа. Значит, все число делится на 11, если комбинация цифр числа – сумма первой и последней минус вторая цифра – делится на 11.

Рассуждая аналогично (то есть применяя способ представления числа в виде суммы слагаемых), в общем случае:

        Выражение А делится на 11, так как число, запись которого представляет собой четное количество 9, и число имеющее вид 10…01 (с четным количеством нулей), делятся на 11 (обоснование: число 99..99 с четным количеством 9 можно представить в виде суммы числа 99..00 с четным количеством 0 и числа 99, каждое из которых делится на 11, а число 10..01 с четным количеством 0 можно представить в виде разности числа 99..0 с четным количеством 9 и числа 11, каждое из которых делится на 11).

Значит, все число делится на 11 в том случае, если выражение в скобках делится на 11. А выражение в скобках представляет собой разность двух сумм: суммы цифр, стоящих на четных позициях, и суммы цифр, стоящих на нечетных позициях.

В результате обобщения получен признак делимости на 11 для любого числа: «Число  делится на 11 Û  делится на 11».

Анализ второго способа рассуждения

Результатом обобщения является утверждение всеобщего характера (признак делимости на 11 для любого числа). В отличии от первого способа рассуждения, в результате обобщения мы не только получили правдоподобное утверждение, но и выявили способ его доказательства (доказательство с использованием позиционной записи числа).

Особенностью способа обобщения в вышеизложенном рассуждении является то, что обобщение проводилось на основе анализа структуры одного частного случая. В ходе анализа выделялись существенно важные отношения и связи объектов.

Таким образом, можно выделить еще один тип обобщения – обобщение через выделение общей структуры объекта.

Задача о Пифагоровых тройках

Существуют тройки натуральных чисел, которые являются длинами сторон прямоугольного треугольника. Такие тройки чисел называются Пифагоровы тройки, а задача их нахождения – задача о Пифагоровых тройках.

Формулируется задача о Пифагоровых тройках следующим образом: «Найти все натуральные числа , удовлетворяющие равенству ».

Общее решение задачи о Пифагоровых тройках:

                          , где                                  (1)

Первый способ построения рассуждения

a) Рассмотрим несколько троек чисел, удовлетворяющих равенству .