Особенности обобщения на математическом материале, страница 6

Методика В.В. Давыдова направлена на формирование понятий у учащихся. Но это формирование происходит в коллективно-распределенной форме, а это значит, что сложно проследить особенности формирования способности к обобщению у отдельного ребенка. Методика В.А. Крутецкого оценивает способность к обобщению как личную способность отдельно взятого ученика. Методика В.А. Крутецкого позволяет достаточно легко проследить последовательность умственных действий учащегося при решении задачи, а тем самым и способ обобщения, которым он пользовался.

Перечисленные выше методики могут являться основанием для разработки экспериментальной методики исследования связи между способом формирования понятия и способностью учащегося использовать полученное знание как средство для решения различных типов заданий.

§2.3. Конкретизация типов обобщений В.В. Давыдова на материале математики

Нами были выделены следующие типы обобщений:

Ø обобщение путем прямой аналогии; довольно простой способ обобщения, но малоэффективный, в том смысле, что достоверность полученных результатов остается под большим вопросом;  

Ø индуктивное обобщение; обобщение путем сравнения свойств объектов; для этого типа обобщения характерны анализ и сравнение большого количества эмпирического материала. Полученные в результате обобщения утверждения правдоподобны, но нуждаются в обосновании;

Ø обобщение через выявление общей структуры; содержательный тип обобщения, характеризуемый выделением некоторого общего принципа. Полученные результаты носят всеобщий характер. Для обобщения достаточно существенного анализа одного частного случая;

Ø обобщение через снятие ограничений, дополнительных соотношений; в ходе обобщения выделяется некоторый существенный принцип, но этот принцип не является всеобщим и применим только для данной конкретной ситуации;

Ø обобщение через построение модели; построение модели позволяет раскрыть природу исследуемых объектов, выявить внутренние существенные отношения. Полученные результаты носят всеобщий характер. Недостаток этого способа обобщения в сложности его осуществления.

Далее будут рассмотрены решения нескольких математических задач различными способами рассуждений. Анализ представленных решений подтверждает предложенную нами типологизацию обобщений на математическом материале.

Мы рассмотрим четыре специфических математических вопроса. Как известно, для решения какой-либо задачи обычно используются всевозможные способы обобщения; таким образом, становится очень сложно выделить различные способы обобщения в чистом виде. Представленные задачи специфичны тем, что результатом их решения является обобщение и получить это обобщение можно разными способами рассуждения.

Вывод признака делимости на 11 для любого числа

Первой рассматриваемой задачей является задача вывода признака делимости на 11 для любого числа. Часто перед учащимися встает вопрос о делимости того или иного числа. Признаки делимости на число а позволяют по записи любого числа определить, делится ли оно на число а или нет. То есть признак позволяет вопрос о делимости числа свести к вопросу о делимости комбинации цифр этого числа.

Известен довольно простой признак делимости двухзначного числа на 11 – число делится на 11, если обе его цифры совпадают. В этом случае можно поставить задачу обобщения, то есть задачу нахождения признака делимости на 11 для любого числа.

Результатом обобщения в этом случае будет являться следующее утверждение:

Утверждение 1. Число  делится на 11 Û  делится на 11.

Рассмотрим два различных рассуждения.

Первый способ вывода утверждения 1.

a) Известно, что двухзначное число делится на 11, если оно записывается одинаковыми цифрами. Попробуем определить признак делимости на 11 для трехзначных чисел. Можно предположить, что число  делится на 11, если . Но эта гипотеза опровергается приведением контрпримера: у числа 111 все цифры одинаковые, однако 111 не делится на 11.