Особенности обобщения на математическом материале, страница 12

Таким образом, одним из способов обобщения является обобщение через снятие ограничений.  

Итак, нами были выделены несколько различных типов обобщения:

Ø обобщение путем прямой аналогии,

Ø индуктивное обобщение,

Ø обобщение через выявление общей структуры,

Ø обобщение через снятие ограничений,

Ø обобщение через построение модели на другом математическом языке.

В ходе анализа рассуждений были получены следующие критерии, позволяющие различать типы обобщений:

Ø количество анализируемого материала (необходимого для построения обобщения),

Ø достоверность полученных в результате утверждений,

Ø простота необходимых мыслительных действий,

Ø модельный характер обобщения,

Ø отражение в обобщении некоторого общего принципа, общего способа действия. 

В ходе анализа вышеприведенных рассуждений были обнаружены две принципиально отличающиеся ситуации применения знания как средства решения задач. Знанием выступала формула сокращенного умножения. В первом случае эта формула применялась для решения аналогичной задачи: нахождение формулы квадрата суммы нескольких переменных. Во втором случае формула использовалась для решения задачи совершенно другого типа: задачи о Пифагоровых тройках. 

После выделения конкретных способов обобщения в чистом виде возникает необходимость сопоставления выявленных способов обобщения с уже известной типологизацией В. В. Давыдова (схема 2).

Обобщение по аналогии и обобщение через сравнение свойств можно отнести к формально-эмпирическому обобщению. Но тогда теряется специфика существенно отличающихся ситуаций, когда в процессе анализа эмпирического материала выделяются формальные признаки и существенные закономерности, и результаты обобщений отличаются разной степенью достоверности. Достоверность обобщения как результата переноса свойств по аналогии вообще нельзя определить сразу. Результаты, полученные в ходе обобщения  через сравнение, носят правдоподобный характер, но нуждаются в обосновании. Таким образом, предлагается отнести обобщение по аналогии к формально-эмпирическому типу обобщения, а обобщение через сравнение свойств объектов – к содержательно-эмпирическому типу обобщения.

Те случаи, когда выделяется общая структура объекта или строится модель можно отнести к содержательно-теоретическому обобщению. Можно сказать, что и тот и другой тип относится к обобщению через построение модели. Только в первом случае строится модель общего способа действий на том же математическом языке, а во втором – строится модель на другом математическом языке. То есть оба вида обобщения соотносятся с содержательно-теоретическим типом обобщения по типологизации В.В. Давыдова.

Тип обобщения, осуществляемый путем снятия некоторых дополнительных ограничений, не соотносится с классификацией В.В. Давыдова, так как с одной стороны в ходе такого обобщения обнаруживается некоторый существенный принцип, но с другой стороны – этот принцип не носит всеобщий характер.     

Таким образом, вводим следующую конкретизацию типологизации обобщений В.В. Давыдова:

	Формальное обобщение	Содержательное обобщение
Эмпирическое обобщение	Обобщение путем прямой аналогии	Индуктивное обобщение
Теоретическое обобщение	?	Обобщение через построение модели

Остается открытым вопрос о существовании формально-теоретического обобщения. Какими характеристиками должен обладать этот тип обобщения? Возможно ли сочетание теоретического и формального?