Особенности обобщения на математическом материале, страница 2

В.В. Давыдов критикует традиционное определение обобщения, потому что обобщение может осуществляться разными способами, и, используя разные способы обобщения, можно получить принципиально отличающиеся результаты. Например, заметив, что числа 363, 723, 123, 513 делятся на 3, можно предположить, что число делится на 3, если его последняя цифра – 3. Это утверждение было получено путем обобщения формы записи числа. Но утверждение это – ложно (это легко доказать, приведя контрпример – 563). Таким образом, не каждое обобщение приводит к истинным результатам. Рассмотрим другой тип обобщения на этом же примере. Заметив, что числа 363, 723, 123, 513 делятся на 3, можно также предположить, что число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Это утверждение также получено в ходе обобщения, но оно является истинным. Особенность этого обобщения в том, что утверждение в этом случае истинное, но не доказательное, а полученное в ходе выделения некоторой закономерности.

Таким образом, можно выделить следующие различия результатов обобщения:

1.  истинность; результаты обобщения могут быть как истинными, так и ложными утверждениями,

2.  доказательность; результатом обобщения могут быть как доказательные (способ обобщения приводящий к этим утверждениям является и их доказательством), так и правдоподобные утверждения.

В.В. Давыдов [8] вводит типологизацию видов обобщения: разделяет все виды обобщения на два типа – формально-эмпирическое и содержательно-теоретическое (схема 2). 

схема 2

Каковы основания этой классификации?

Основанием для этой классификации В.В. Давыдов [8] полагает разделение явления и сущности:

“Эмпирическое обобщение не обеспечивает в познании разведения явлений и сущности. Оно устанавли­вает лишь формальные родовидовые зависимости в различ­ных классификациях. Эмпирическое обобщение ограниченно сравнением конкретно-чувственных данных с целью выделения формально общих признаков. В эмпирическом понятийном обобщении не выделяются именно существенные особенности самого предмета, внутренняя связь его сторон.

В процессе теоретического обобщения обнару­живаются и прослеживаются реальные взаимосвязи всеобщего с особенным и единичным. Произвести содержательное обобще­ние — значит открыть некоторую закономерность, необходи­мую взаимосвязь особенных и единичных явлений с общей основой некоторого целого, открыть закон становления внутреннего единства этого целого. Содержательное обобщение совершается путем анализа некоторого целого с целью открытия его генетически исходного, существенного, всеобщего отношения как основы внутреннего единства этого целого”.

В.В. Давыдов в качестве способа выделения существенного полагает возникновение и оформление некоторого способа действия. Оформление этого способа позволяет раскрыть внутреннюю природу явлений и объектов. Полученный способ действия можно применять как для общей ситуации, так и для частных случаев.

Приведем примеры соответствующих видов обобщения:

1.  Формально-эмпирическое обобщение.

Обобщая формально (выделяя формальную закономерность записи формулы) несколько формул:  - можно предположить, что . Это утверждение истинно, но его истинность не доказана.

2.  Содержательно-теоретическое.

На примере этой же задачи можно продемонстрировать обобщение другого рода. Для того чтобы вывести общую формулу, достаточно рассмотреть один из предложенных примеров: . Таким образом, выведен сам способ возведения многочлена в квадрат, который позволяет записать общую формулу - .

Каждому виду обобщения В.В. Давыдов ставит в соответствие понятие определенного характера. Эмпирическое обобщение приводит к образованию эмпирических понятий, которые не раскрывают сущности объектов. Теоретическое обобщение приводит к возникновению теоретических понятий, за которыми стоит способ действования с объектами [8]: