Задачи, приводящие к появлению понятия иррационального числа. Разработка материалов для учебного модуля, страница 8

«Если же хотят, а это в самом деле желательно, исследовать все явления на прямой также и арифметическим путем, то в виду недостаточности для этой цели рациональных чисел, становится необходимым существенно улучшить построенный путем созидания рациональных чисел инструмент R, создав новые числа таким образом, чтобы область чисел приобрела ту же полноту, или, скажем прямо, ту же непрерывность, как и прямая линия…Следует стремиться к тому, чтобы иррациональные числа были вполне определены через посредство рациональных чисел» [17].

В основе теории иррациональных чисел Р. Дедекинда лежит понятие о сечении в области рациональных чисел. Каждое рациональное число а производит разложение системы R на два класса А1 и А2 такого рода, что каждое число а1 первого класса меньше каждого числа а2 второго класса. Число а является либо наибольшим числом класса А1, либо наименьшим числом класса А2. Если теперь дано какое-нибудь подразделение системы R на два класса А1, А2, обладающее только тем характерным свойством, что каждое число а1 из А1 меньше каждого числа а2 из А2, то для краткости мы будем называть такое подразделение сечением и обозначать его через (А1, А2). Итак, число а производит сечение, которое имеет следующее свойство: либо между числами первого класса есть наибольшее, либо между числами второго класса существует наименьшее. И обратно, если сечение обладает этим свойством, то оно производится этим наибольшим или наименьшим числом.

Легко, однако, убедится в том, что существует бесчисленное множество сечений, которые не могут быть произведены рациональным числом.

Пример: пусть D – положительное целое число, но не квадрат целого числа. Существует положительное целое число l такого рода, что

l2 < D < (l+1)2.

Если возьмем для второго класса А2 каждое положительное рациональное число, квадрат которого >D, а для первого класса А1 все остальные рациональные числа, то это подразделение составит сечение (А1, А2), поскольку каждое число а1 буде меньше каждого числа а2.  Но это сечение не производится никаким рациональным числом. Доказательство в [17, 18, 26].

В том, что не все сечения производятся рациональными числами, и состоит неполнота, или разрывность области R рациональных чисел. Таким образом, появляется задача пополнения множества.

Дедекинд решает ее следующим образом: «Теперь всякий раз, когда нам дано сечение (А1, А2), которое не может быть произведено никаким рациональным числом, мы создаем новое иррациональное число a, которое рассматривается нами, как вполне определенное этим сечением (А1, А2).» [17, 18, 26] Итак, в этом случае говорится, что число a соответствует этому сечению, или что оно производит это сечение. Теперь каждому определенному сечению соответствует одно и только одно рациональное и иррациональное число. Два числа считаются различными или неравными, когда они соответствуют различным сечениям.

Чтобы найти основание для распределения всех вещественных чисел, т.е. всех рациональных и иррациональных чисел, Дедекинд исследует соотношения между двумя сечениями (А1, А2) и (В1, В2), которые производятся некоторыми a и b.

Рассматривая сечения в множестве рациональных чисел, мы видели, что иной раз для такого сечения в этом множестве не находилось пограничного числа, про которое можно бы было сказать, что оно производит сечение. Именно эта неполнота множества рациональных чисел, наличие в ней этих пробелов и послужили основанием для введения новых чисел – иррациональных. Станем теперь рассматривать сечения в множестве всех вещественных чисел. Под таким сечением мы понимаем разбиение этого множества на два непустых множества А1, А2 при котором: