ГЛАВА 1. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ПОЯВЛЕНИЮ ПОНЯТИЯ ИРРАЦИОНАЛЬНОГО ЧИСЛА
Целью настоящей главы является изучение истории возникновения понятия иррационального числа и выделение задач приводящих к этому понятию.
Для анализа я взяла следующие работы:
1) Р. Дедекинд «Непрерывность и иррациональные числа»
2) Г. Кантор «Об одном свойстве совокупности всех действительных алгебраических чисел»
3) Г. Кантор «Обобщение одной теоремы из теории тригонометрических рядов (извлечения)»
4) Л.О. Коши «Математический анализ (извлечения)»
5) А.И. Щетников «Пифагорейское учение о числе и величине»
1.1. Задача соизмерения величин как одна из задач приводящих к появлению понятия иррационального числа
Из работы Андрея Ивановича Щетникова «Пифагорейское учение о числе и величине» и из некоторых других работ по истории математики [5, 7, 9, 10, 11 и др.] я выделила задачу соизмерения величин, как задачу, приводящую в истории математики к появлению понятия иррационального числа.
Характерным для пифагорейцев было стремление соизмерять все величины между собой, отыскивая их общую меру и раскрывая гармоническую связь между ними. Идея соразмерности частей играла огромную роль в античной культуре, чему имеется множество примеров. Вот как эта идея представлена в книге «О темпераментах» знаменитого врача Галена: «Здоровье тела определяется соразмерностью теплого, холодного, сухого и влажного, то есть элементов тела; красота же заключается уже не в отношении элементов, но в отношении частей тела, то есть в пропорции между пальцем и пальцем, и между всеми пальцами и кистью и запястьем, и между всеми этими частями и локтем, между локтем и предплечьем, и между всеми частями вообще, как написано в «Каноне» Поликлета. Преподав нам в этом сочинении все пропорции тела, Поликлет подтвердил слово делом, создав статую согласно предписаниям своей теории и назвав саму статую, как и сочинение, «Каноном». Таким образом, по мнению всех врачей и философов, красота тела заключается в пропорции частей» [28].
И вот 2500 лет назад пифагорейцы обнаружили, что существуют несоизмеримые величины, то есть величины, отношение которых не может быть выражено парой чисел.
В Х книге «Начал» Евклида даются следующие определения: «Соизмеримыми величинами называются измеряемые одной и той же мерой, несоизмеримыми же – для которых никакая общая мера не может быть образована». В то время как у всех чисел была общая мера – единица, найти общую меру также и для всех величин пифагорейцы не смогли. Факт существования несоизмеримых величин впервые был обнаружен пифагорейцами при попытках найти общую меру стороны и диагонали квадрата. Если на диагонали квадрата построить другой квадрат, он будет в два раза больше исходного по площади (рисунок 1). Если бы стороны этих двух квадратов были соизмеримы между собой, то их наибольшая общая мера a укладывалась бы в стороне исходного квадрата некоторое число b раз, а в стороне квадрата на диагонали а раз; при этом выполнялось бы соотношение а2=2b2. Таким образом, задача о поиске общей меры стороны и диагонали квадрата сводится к задаче о поиске двух квадратных чисел, одно из которых в два раза больше другого.
Последовательность квадратов, площади которых относятся как числа 1, 2, 3, 4, 5,…, обсуждается в диалоге Платона «Теэтет» [21].
Теэтет. Вот Феодор начертил кое-что относительно сторон квадратов и показал, что стороны квадратов, содержащих три и пять квадратных футов, несоизмеримы по длине с однофутовым отрезком. Так, перебирая квадраты один за другим, он дошел до семнадцатифутового; здесь его что-то остановило. И вот нам пришло на ум, поскольку такого рода отрезков бесчисленное множество, попытаемся объединить их все под одним именем, характеризующим их все.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.