Числовые характеристики случайных величин, страница 3

Выясним связь между понятиями независимость СВ и их некоррелированность. Если СВ  и  независимы, то они некоррелированы, т.к. в этом случае

==== 0.

Обратное утверждение в общем случае не имеет места. Например, если = и =, где  - СВ, равномерно распределенная в интервале , то ==== 0 и ==== 0, т.е.  и  - некоррелированные СВ, но между ними существует функциональная связь =1 (но не линейная!).

3.4. Кумулянты.

Еще одним видом числовых характеристик СВ являются кумулянты или семиинварианты. В ряде случаев их использование оказывается более эффективным, чем описание СВ с помощью моментов. Прежде чем дать определение кумулянтам, остановимся на свойствах введенной выше ХФ

.

Прежде всего, отметим, что =1. ХФ  непрерывна для всех , для нее выполняются следующие условия: ;  и , где  - знак комплексного сопряжения. Производная -ого порядка характеристической функции в нуле === позволяет определить -ый начальный момент СВ . Таким образом, характеристическая функция может быть представлена рядом Маклорена

==,

где ==1.

Логарифм ХФ = называется кумулянтной функцией. Разлагая кумулянтную функцию в ряд Маклорена, получим

=,

где  - кумулянты или семиинварианты распределения .

Кумулянты  выражаются через моменты СВ :

=, =, =, =, =,…

Для дальнейшего нам потребуется завершить знакомство с нормальной СВ, рассмотренной в первом приближении в примере 4 раздела 1.

Как было указано выше, пример нормальной СВ  имеет вид

.

Характеристическая функция, в соответствии со свойствами преобразования Фурье, будет равна

=.

Математическое ожидание нормальной СВ  вычисляется как =. Выполняя замену переменной , получим

=+.

Первый интеграл равен нулю, как интеграл от нечетной функции в симметричных пределах, а второй – единице по условию нормировки (под знаком интеграла стоит ПВ стандартной нормальной СВ , имеющей нулевое математическое ожидание и единичную дисперсию).

Таким образом, параметр  имеет смысл математического ожидания нормальной СВ, =.

Центральные моменты нормальной СВ равны

=,

или после замены переменной  имеем =.

Учитывая четность при  и нечетность при , =0,1,2,… подинтегрального выражения, получим окончательно

 и =, =1,2,…

Напомним, что  всегда равняется нулю.

Полагая =1, получим =, т.е. параметр  есть дисперсия нормальной СВ.

Асимметрия нормального распределения  и коэффициент эксцесса  – 3= равны нулю.

Кумулянты нормального распределения , начиная с , также равны нулю; = и =, поэтому кумулянты, точнее кумулянтные коэффициенты =, характеризуют степень отличия рассматриваемого распределения от гауссовского.

Это находит свое отражение в возможности представления произвольной ПВ с помощью ряда Эджворта

=,

где = - гауссовское распределение, имеющее = и =, а коэффициенты , называемые квазимоментами, выражаются через кумулянты распределения  следующим образом:

=, =, =, =,…

Квазимоменты отличны от нуля только для негауссовских СВ.

Кумулянты могут быть определены и для многомерных СВ. Чтобы избежать громоздких записей, рассмотрим случай двух СВ  и  , являющихся компонентами, или координатами случайного вектора . Для двумерного распределения  смешанные начальные и центральные моменты имеют вид

= и

=.

Характеристическая функция двумерной СВ

может быть разложена в двойной степенной ряд вида

.

Разложение  в степенной ряд

.

определяет совместные кумулянты  двумерного распределения . Как и для моментов, сумма  определяет порядок кумулянта . Совместные кумулянты выражаются через моменты следующим образом:

,

где для удобства записи под  и  понимаются -ые начальные моменты одномерных распределений  и , т.е.

===.

Аналогичная запись справедлива и для . Из приведенной записи видно, что  совпадает с ковариацией СВ  и  , т.к.

== ==.

Две СВ являются статистически зависимыми или просто зависимыми, если хотя бы один из совместных кумулянтов ,  отличен от нуля.

3.5. Числовые характеристики некоторых распространенных распределений случайных величин