Целевые установки развития и типы экономических моделей. Модели общего равновесия. Модели экономического взаимодействия. Связь между производственными функциями с взаимозаменяемыми ресурсами и функциями производственных затрат, страница 19

  и

Подставляем первое выражение в производственную функцию

    (*)

Аналогично для капитала:

     (**)

При сбалансированности ресурсов эти два равенства должны выполняться одновременно.

Пусть

 и ,  кроме того

Тогда выражения (*) и (**) можно объединить в функцию с взаимодополняемыми ресурсами:

.

То есть мы перешли от функции с взаимозаменяемыми ресурсами к функции с взаимодополняемыми ресурсами, соответствующей ψ-му соотношению ресурсов.

Отсюда можно перейти к функциям производственных затрат.

Продемонстрируем полученный результат на рисунке:

На графике точки A, B, C, и D характеризуют количества затрачиваемых  ресурсов для получения одного и того же объёма выпуска. Соединив эти точки мы получаем ломаную, которая аппроксимирует изокванту производственной функции Кобба-Дугласа. Чем больше проведено изоклиналей, тем лучше ломаная аппроксимирует изокванту.

То есть если мы имеем семейство изоклиналей, то, зафиксировав объём производства и меняя один из ресурсов, мы можем восстановить изокванты производственной функции. Вот такая взаимосвязь!

Для лучшего понимания этой запутанной темы рассмотрим задачку, к тому же подобные задачки порой бывают на экзамене.

Пример:

Даны точки изокванты производственной функции Кобба-Дугласа (то есть, даны определенные производственные способы):

(L, K)

(3, 3)

(2, 4.5)

(9, 1)

(4.5, 2)

Всего в экономике имеются следующие запасы ресурсов: L=15; K=10.

Определить: 1. Какие изоклинали задаются этими точками;

  2. оптимальную интенсивность использования производственных способов.

Решение:

Итак, изоклинали, это кривые с одинаковыми нормами эквивалентной замены, то есть изоклинали как раз и задаются нормой замены (MRTS), поэтому посчитаем норму замены для каждой из представленных точек.

рассчитываем

Изоклинали определили.

   ,     

   

      

Теперь можем записать производственную функцию, как функцию с взаимодополняемыми ресурсами:

Далее, выразим для каждого производственного способа необходимое количество труда и капитала, через интенсивность использования этого производственного способа:

Составляем следующую задачу:

Двойственная задача:

             (1)

     (2)

       (3)

      (4)

Решая двойственную задачу, получаем оптимальное решение на пересечении (1) и (4) ограничений. А все остальные ограничения выполняются как строгие неравенства, значит, соответствующие им переменные исходной задачи, равны нулю (условие дополняющей нежесткости). То есть . Тогда

                

Итак, получили, что в оптимальный план будут входить только первый и четвёртый способы, интенсивность использования каждого их них будет равна шести.

Задача общего равновесия Эрроу-Дебре

Модель совершенного рынка Эрроу-Дебре называется также классической или неоклассической, так как она ведет своё начало от идей Адама Смита и Дэвида Риккардо. Главная идея состоит в объяснении возникающих в рыночной экономике пропорций производства, потребления и цен. Модель базируется на следующих предположениях:

1.  потребители и производители действуют в условиях одинаковых цен;

2.  все рынки конкурентные;

3.  продаваемая продукция однородна;

4.  количество покупателей и продавцов большое, они анонимны и владеют всей информацией, следовательно, могут мгновенно принимать решения;

5.  нет барьеров на вход и на выход в любой отрасли, то есть начать и прекратить производство любого из продуктов можно мгновенно.

Вспомним и уточним некоторые обозначения и индексы:

Пусть в экономике имеется K потребителей и l фирм.

Общий вектор переменных модели делится на две части: интенсивность видов деятельности характеризуется вектором  , а объемы использования благ – вектором  . Общий вектор:

                                     ,        

Общий индекс продукции – s₁M₁, причём N₂M₁. Так как не все виды продукции потребляются конечными потребителями, существует также промежуточное потребление.

Общий индекс первичных ресурсов – s₂M₂.

, где s₁M₁ – вектор-функция выпуска продукции сферой производства;