Целевые установки развития и типы экономических моделей. Модели общего равновесия. Модели экономического взаимодействия. Связь между производственными функциями с взаимозаменяемыми ресурсами и функциями производственных затрат, страница 12

Придельная норма эквивалентной взаимозаменяемости ресурсов. Изменение выпуска продукции при небольших изменениях затрат ресурсов может быть выражено полным дифференциалом: . Для того чтобы заменяемость была эквивалентной, необходимо, чтобы при изменении соотношений используемых ресурсов, значение функции не изменялось , то есть , при предположении, что изменяются количества только двух ресурсов, получаем

Эластичность взаимозаменяемости ресурсов – характеризует отношение относительного изменения соотношения затрат ресурсов i и j к относительному изменению придельной нормы эквивалентной заменяемости этих ресурсов.

Эластичность производства от отдачи от масштаба (или просто эластичность производства).

Докажем последнее равенство:

  Устремляем  к единице, получаем.

Если функция однородна n-ой степени, то из уравнения Эйлера имеем:

 , тогда         

Показывает изменение выпуска от расширения масштаба производства.

Производственная функция Кобба-Дугласа

Первый успешный опыт построения производственной функции, как уравнения регрессии на базе статистических данных был получен американскими учеными – математиком Коббом и, как Вы уже наверно догадались, экономистом Дугласом в 1928 году. Предложенная ими функция выглядела следующим образом:

Где A интерпретируется как показатель общей эффективности ресурсов, и

, где  –  числовые параметры, показатели эластичности производства по ресурсу.

Условие равенства единице суммы степеней гарантирует вогнутость функции Кобба-Дугласа всюду. Однако если в качестве ограничений на параметры взять просто , то найдется такое подпространство экономической области, в котором функция вогнута. Если мы работаем только в этом подпространстве, то требование равенства суммы степеней единице не является обязательным.

Лирическое отступление:

Приверженность экономистов к этой функции периодична. Эта функция была на взлёте своей популярности в начале XX века, так как довольно точно описывала экономику до Великой депрессии. Однако Великая депрессия поколебала авторитет функции Кобба-Дугласа. Но уроки кризиса внесли свои коррективы, функцию модернизировали, и она снова начала довольно адекватно описывать реальность. Затем история вновь сделала зигзаг, чувства экономистов охладели к функции Кобба-Дугласа в 70-ые годы (думаю, это было связано с кризисом энергоресурсов, скачком цен на нефть). Однако сейчас вновь считается, что она наиболее точно описывает производственный процесс.

В общем виде, при многофакторной модели производства функция Кобба-Дугласа переписывается следующим образом:

Такая функция обладает рядом достоинств:

·  Включает только необходимые ресурсы, так как если какой-нибудь из ресурсов равен нулю, то значение функции равно нулю.

·  Удовлетворяет всем введенным выше аксиомам;

·  Имеет производные высших порядков, что облегчает решение задачи;

·  Хорошо согласуется с реальными эмпирическими данными.

Теперь для случая двухфакторной функции  выпишем все предельные соотношения из предыдущего пункта.

Начнём с того, что данная функция однородна n–ой степени:

Если , то функция однородна первой степени.

Средний продукт

Тут можно провести некоторую содержательную интерпретацию. Если выпуск (Y) интерпретировать как ВВП, то средний продукт по труду с некоторой степенью приближения можно интерпретировать как ВВП на душу населения, а показатель  – капиталовооруженность труда. Тогда ВВП на душу населения (один из основных показателей уровня жизни) есть функция от капиталовооруженности, т.е. напрямую зависит от обеспеченности труда средствами производства.

Предельный продукт

 – придельная эффективность труда.

– придельная эффективность капитала.

Эластичность выпуска от затрат

 и аналогично

Придельная норма эквивалентной взаимозаменяемости ресурсов

Эластичность взаимозаменяемости ресурсов

Еще раз: эта штука показывает, на сколько должно измениться соотношения между ресурсами, для изменения придельной нормы замещения этих ресурсов на единицу. Особый интерес представляют собой случаи постоянства эластичности замещения. Посмотрим, чему равна эластичность замещения для функции Кобба-Дугласа: