Анализ волновых движений в океане. Уравнения геофизической гидродинамики с учетом турбулентности. Пограничные слои в океане, страница 5

Рис. 5.6.

Дисперсионное соотношение для волн этого типа имеет вид:

.

Чтобы волна уменьшилась в  раз в направлении , надо пройти расстояние  , . Дисперсионное соотношение для этих волн

поэтому иногда константу разделения выбирают в виде , которая имеет смысл фазовой скорости, здесь  - характерная глубина процесса. Тогда , если  - полная глубина океана. , следовательно,  км (для  км на широте . Эти волны играют роль в прибрежной динамике).

6. Уравнения геофизической гидродинамики с учетом турбулентности.

6.1. Осреднение уравнений. Уравнения Рейнольдса.

В предыдущих лекциях мы описывали получение уравнений при использовании в уравнениях молекулярной кинематической вязкости. Однако,  на масштабах, изучаемых нами, влияние этих коэффициентов на крупномасштабные течения пренебрежимо мало. Для океана коэффициенты кинематической вязкости имеют значение  и для атмосферы .

С одной стороны, очевидно, что другого механизма диссипации, кроме молекулярной вязкости не существует, с другой стороны, понятно, что мы никогда не сможем в крупномасштабных моделях описать всю цепочку вихревых образований и турбулентных движений,  которые передают энергию от крупномасштабных движений к мелкомасштабным и затем - в тепло. Это соответствует понятию каскадной передачи энергии, то есть крупномасштабные течения не существуют изолированно. Должен существовать целый спектр разномасштабных движений, поддерживаемых за счет энергии крупномасштабных движений. В отдельных районах и в отдельные периоды могут существовать процессы передачи энергии от мелких масштабов к крупным, однако, в целом эта концепция является оправданной. Тогда может быть сделана попытка описать динамику передачи энергии от крупных масштабов к мелким только через кинематические свойства самого крупномасштабного движения. В ином случае мы должны решать невообразимую по сложности задачу по описанию всех масштабов в одной системе уравнений.

На самом деле проблема удовлетворительного описания взаимодействия мелко- и крупномасштабных движений является одной из самых трудных и неясных в геофизической гидродинамике. В настоящее время не существует такой теории турбулентности,  которая бы давала не очень сложное,  но достаточно адекватное описание эффективной силы трения, обусловленной каскадной передачей энергии турбулентными и вихревыми флуктуациями.

В настоящем разделе кратко дано описание простейшей параметризации влияния  каскада турбулентных движений на крупномасштабные движения, полностью аналогичные описанию молекулярных сил на средние движения в уравнениях Навье-Стокса. Необходимо понимать, что описываемая параметризация является вынужденным компромиссом Озмидов [8 ].

Рассмотрим уравнения системы (4.12), (4.11) с учетом вязкости

                                         (6.1)

,

Где использованы стандартные обозначения

.

Для разделения гидродинамических полей на крупномасштабную и турбулентную составляющие применяется операция пространственно-временного осреднения полей. Движения осредняются по ,  следующим образом. Полагается, каждая функция представима в виде

,

где  и  - средняя составляющая и пульсация, соответственно. Операция осреднения  удовлетворяет следующим правилам Рейнольдса

В терминах теории вероятности,  может трактоваться как математическое ожидание, а  - как дисперсия. Тогда первое из уравнений движения (6.1) может быть переписаны в виде

где  - молекулярная вязкость. Осредняя правую и левую части уравнения, получаем

              (6.2)

Здесь для дивергентного представления адвективных членов  для отклонений использовано уравнение неразрывности . Помножая его на , получим

.

Аналогично выводятся уравнения

(6.3)

               (6.4)