Анализ волновых движений в океане. Уравнения геофизической гидродинамики с учетом турбулентности. Пограничные слои в океане, страница 2

                              (5.13)

Подставим (5.13) в последнее уравнение (5.12) и получим

,                                               (5.14)

где , а  - константа разделения. Тогда систему уравнений (5.12) можно записать в виде двух систем, где одна зависит только от вертикальной координаты, а другая - от горизонтальных координат.

Для функций , ,  ставится -задача (Horyzontal)

                                              (5.15)

а для функций  и  - -задача (Vertical)

                                       (5.16)

Для -задачи граничных условий нет, так как океан безграничен, а для -задачи

                                    (5.17)

Чтобы решить поставленную задачу, нужно найти все возможные  и , для которых задачи (5.15) и (5.16), при условиях (5.17), имеют решение. Пересечения собственных кривых  -задач, образованные на этой плоскости будут решениями общей задачи и дают частоты возможных свободных колебаний в океане. Заметим, что -задача не зависит от вращения системы координат, потому что в ней отсутствует параметр Кориолиса , а для -задачи неважно каким образом стратифицирована система (в уравнениях отсутствует ).

5.2. Анализ простейших случаев.

Пусть . Система (5.16) может быть сведена к одному уравнению относительно

.                                        (5.18)

Рассмотрим графическое решение этой задачи

1.

а) ;

При , тогда собственные значения можно найти из уравнения

;                                   (5.19)

б) ;

Тогда уравнение для собственных значений примет вид

;                                         (5.20)

2.

в) ;

;                                   (5.21)

г) ;

.                                   (5.22)

При графическом анализе получаем:

a) Рис. 5.1.а - один корень (баротропные волны),

,                                     (5.23)

б) Рис.5.1.б - бесконечное число корней,

,                                     (5.24)

в) Рис.5.1.в - корней нет,

,                                       (5.25)

г) Рис.5.1.г - бесконечное число корней (нет ),

.                                     (5.26)

Рис. 5.1.

Можно рассмотреть следующие асимптотики решений:

1) .

а) При  выполняется  (с определенной точностью);

б) Когда  и  мало, т.е. стратификация слабая, , а  приближаются к оси , следовательно, пренебрегая малыми правыми частями, для них получим уравнение

                                           (5.27)

то есть

2) .

в) нет корней;

г) аналогично предыдущему (вариант б)  получаем тригонометрическое уравнение :

                 (5.28)

Таким образом полная картина для -задачи имеет вид:

Рис. 5.2. Собственные кривые -задачи. Картина симметрична относительно оси .

Переходим к рассмотрению -задачи.

Так как океан безграничный, то ищем решение в виде

,

где  - волновые числа по  соответственно. Тогда имеем

Это однородная система. Для ее однозначной разрешимости мы должны потребовать, чтобы дискриминант равнялся нулю, т.е.

Отсюда,

.                                         (5.29)

Выражение (5.29) дает соотношение для собственных кривых  -задачи (схематично представленное на рис. 5.3). График кривых симметричен относительно .

Рис. 5.3. Цифры у кривых соответствуют различным значениям среднего волнового числа .

Асимптотикой для -задачи является , а для -задачи - , поэтому пересечение собственных кривых  -задачи и собственных кривых первого типа -задачи происходит при , что соответствует поверхностным гравитационным волнам, которые полностью определяются эффектом свободной поверхности. Этот тип волн возникает за счет существования свободной  границы и условий на ней. Примером таких волн является цунами, которая представляет собой очень длинную гравитационную волну. Если на границе положить , то поверхностные волны исчезают, в соответствии с условием твердой крышки.

Чтобы получить общее дисперсионное соотношение, исключим  из (5.29) и выражения (5.19). В результате получим