Физика (Часть 1): Учебно-практическое пособие, страница 9

 При движении материальной точки координаты  с течением времени изменяются, т.е. являются функциямивремени. Скалярные уравнения:   x = x(t);

y = y(t); z = z(t)  (1.1) в  общем случае являются кинематическими уравнениями движения точки. Система уравнений  (1.1) эквивалентна векторному уравнению            r = r  (t) .

Положение точки в пространстве можно описать с помощью полярных координат r,Θ,φ  (рис.1).

Рис.1

Числом  степеней свободы материальной точки называют число независимых координат, которые полностью определяют ее положение в пространстве. Если   точка  движется    в пространстве, то ее  положение  определяется тремя координатами  x, y, z и она обладает тремя  степенями свободы.  При движении по   плоскости у точки две степени свободы, а при движении по прямой точка обладает  только одной степенью

свободы. 

Траекторией движения называют линию, описываемую движущейся точкой. Пусть материальная точка перемещается

по кривой из положения А в положение В

 (рис. 2). Тогда дуга АˇВ будет траекторией, а длина этой дуги ∆s будет длиной пути. Длина пути ∆s представляет собой скалярную функцию времени ∆s= ∆s (t). Начальное положение материальной точки задается радиусом-вектором  r_0,а конечное - радиусом-вектором  r. Вектор Δr = r –r₀ (приращение радиуса-вектора за рассматриваемый промежуток времени) называется перемещением. При прямолинейном перемещении | Δr | = ∆s.

Скорость

Быстрота и направление движения  точки  характеризуется скоростью.  Скорость векторная величина. Пусть точка перемещается из положения А в положение В (рис.3).  В  момент    времени t положение  материальной точки характеризует радиус-вектор r₀.   За малый промежуток времени Δt точка прошла путь Δs  до  положения  В  и совершила   элементарное  перемещение Δr.  Вектором  средней скорости называют отношение   

‹ v› = Δr /Δt  [м/c]

Направление  ‹v›  совпадает с  направлением    Δr.

Мгновенной  скоростью  vназывают   предел отношения приращения радиуса-вектора точки  Δrк  промежутку  времени  Δt,  стремящемуся к нулю

v=  lim   Δr /Δt  = dr/dt ,

                                            ^Δt→0

т.е. v есть первая  производная радиуса-вектора  по времени. В пределе при   Δt→0,  секущая  АВ  совпадает  с  касательной и, следовательно,  мгновенная скорость v  направлена по касательной  в каждой  точке траектории.

По мере  уменьшения Δtпуть  ∆s будет приближаться к значению модуля перемещения  |Δr|, поэтому модуль мгновенной скорости будет равен

Из  полученного  выражения  видно, что  ds = dt. Путь s, пройденный за время Δt, найдем, интегрируя выражение ds = v dt в пределах от t до  t+ Δt

s =

В случае равномерного движения  (v  =  const)    s = vt.  В самом общем случае, когда скорость является функцией времени  v  =  v(t),   путь, пройденный за время  Δt  =  t₂ –t_1, определяется интегралом

.