Физика (Часть 1): Учебно-практическое пособие, страница 19

За  время    Δt   тело повернется на угол  Δ φ  точка m пройдет путь Δs  =  r ∙ Δ φ.        Разделив обе части этого равенства на Δt и, переходя к пределу,  получим

   или   ,

v = r∙ω  , где ω = dφ/dt  - производная  от угла поворота φ по времени называется  угловой  скоростью. ω - измеряют в рад/с, или  с-1 часто угловую скорость задают числом  оборотов n в единицу времени. Эти две   величины связаны отношением     ω = 2πn.

При неравномерном  вращении угловая  скорость  ω    изменяется со  временем и  за  время Δt  получает приращение  Δω. При этом   линейная  скорость  точки  также получает приращение Δv ,  равное

Δv= Δ (r∙ω) = r∙Δω.

Разделив обе  части  равенства на Δt,  и переходя к  пределу, получим     

   или   .

Производная dω/dt = ε   называется угловым ускорением,  а соотношение aτ=r∙ε  выражает связь линейного тангенциального aτ и углового ускорения. Угловое ускорение измеряют в рад/c2 или  с-2 .

Известно, что при  криволинейном движении тангенциальное ускорение  характеризует   изменение  скорости по  величине, а   нормальное – по   направлению и равно an = v2/r. Учитывая, что v= ωr, получим    связь  нормального  ускорения  с угловой  скоростью:

а= ω2r.

Величина  полного  ускорения а, выраженная через  характеристики  вращательного движения, имеет вид

 При равнопеременном вращательном движении (ε  =  const) формулы для  определения угла  поворота  и угловой  скорости  имеют вид

                   .

Динамика вращательного движения

                       Чтобы твердое тело с закрепленной осью привести во вращение, к нему необходимо приложить силу, не проходящую  через ось вращения и не параллельную ей.  Вращательное движение под действием силы F определяется не только ее величиной, но и расстоянием d от линии ее  действия до оси вращения, называемого плечом силы. Векторное  произведение  M =[rF] или M = r F sinα называют моментом силы, где r- радиус-вектор, проведенный из точки О, обозначающей  ось вращения, к точке приложения силы. Плечо силы d =r sin α, где α – угол,  между направлением силы  F и   радиус-вектора  r.

Разобьем мысленно тело на материальные точки массой mi c  расстоянием  до оси вращения  ri. Пусть под  действием   силы  F тело начало вращаться.  Это  значит,  что каждая точка   тела получила ускорение ai ,  По второму закону  Ньютона  для каждой    точки тела можно записать Fi  =miai .  Умножим обе части равенства  на радиус вращения точки ri

Fi ri   =mi ai  ri .

Учитывая, что ai = ri∙ε; Mi = Firi , запишем Mi = miri2 ε. Величина Ji = miri2   называется  моментом  инерции  материальной точки,  а сумма    моментом инерции тела относительно оси вращения. Mi= Ji∙ε. Суммируя последнее равенство по  всем точкам тела,  получим:

M= J ε    или    ε  = M/ J  -