Навигационные параметры и изолинии. Аналитический метод определения места судна с помощью изолиний. Линеаризация навигационных функций и ее геометрическая интерпретация. Априорная и апостериорная оценка точности обсервации, страница 9

Существующие, приборы, системы и традиционные методы определения места судна имеют значительные недостатки. Так, например, погрешности определения счислимых координат за­висят от точности работы лага и компаса, от гидрометеороло­гических условий 'плавания, 'погрешности определения счислимых координат растут с течением времени. Методы мореходной аст­рономии зависят от погодных условий, имеют ограниченную точность, а также требуют значительного времени для полу­чения обсервованных координат. Визуальные методы опреде­ления места судна имеют ограниченный район применения, и их использование также зависит от погодных условий. Радио­пеленгование имеет ограниченный район использования и низ­кую точность. Почти все радионавигационные системы имеют ограниченный район использования, а глобальные радионавига­ционные системы имеют и низкую точность. Спутниковые на­вигационные системы на низких орбитах обладают значитель­ной дискретностью определения места. Радиолокационные стан­ции имеют ограниченный район использования и необходимость опознания ориентиров.

Список можно продолжить, но уже совершенно очевидно, что недостатки традиционных методов и средств определения места судна в значительной мере снижают безопасность море­плавания.

1.6  Априорная и апостериорная оценка точности обсервации.

В соответствии с хорошей практикой любой инженерный расчет должен сопровождаться оценкой точности полученного результата: отыскание математического ожидания искомых параметров и их дисперсии. В судовождении при определении места судна рассчитывают координаты и оценивают их точность либо через ковариационную матрицу, либо через одну из ее геометрических интерпретаций, например в виде эллипса погрешностей.

Измерения проводятся с погрешностями, поэтому и обсервованные координаты вычисляются тоже с погрешностями.

1.6.1  Правило переноса погрешностей

Особенностью определения координат является тот факт, что измерения косвенные, то есть измеряются навигационные параметры, и допущенные погрешности затем переносятся в погрешности координат.

1.6.2  Априорная оценка точности обсервации

Для оценки точности обсервации используются вероятно-статистические методы, которые устанавливают границы некоторой доверительной области, в которой с заданной вероятностью может находиться истинное место судна. При этом делаются следующие допущения:

  1. В измерениях отсутствуют промахи, т.е. грубые погрешности;
  2. Систематические погрешности измерений определены и компенсированы поправкой;
  3. Вычислительные погрешности и погрешности графики пренебрежительно малы;
  4. Статистические числовые характеристики погрешностей измерений (дисперсия и СКП) и законы их распределения заданы априорно, т.е. по результатам предыдущих экспериментов (обсерваций). Эти априорные данные имеют приближенные средние значения и базируются на том, что все эксперименты, проведенные ранее с такими же приборами на судах, имеют сходные условия, что и текущая обсервация.

Рассмотрим этот вопрос на примере ОМС по двум измерениям. В этом случае линеаризованная система принимает вид.

A DX = DU(75)

Так как измерения с погрешностями, то перепишем систему в виде

A (DX+dx) = DU+du.(76)

Тогда 

A dx = du.

Откуда

dx = A-1 du.                                                                                              (77)

Погрешности измерений могут быть статистически зависимы. Такая зависимость существует хотя бы потому, что обычно используются как минимум одни и те же инструменты.  Эта статистическая зависимость определяется коэффициентом корреляции, а общее описание такой зависимости дает ковариационная матрица погрешностей измерений.

Формирование ковариационной матрицы погрешности измерений выполняется по формуле

D(Du)=du duT .                                    (78)

Для двумерного случая это выглядит так:

На главной диагонали находятся дисперсии измеряемых навигационных параметров, а вне диагонали - ковариационные моменты, которые характеризуют статистическую связь между измерениями.

Структура ковариационной матрицы погрешностей измерений определяет название МНК: если матрица диагональна и все ее компоненты равны, то алгоритм носит название МНК, если компоненты не равны, то это метод взвешенных наименьших квадратов; если матрица не диагональна, то это обобщенный МНК.

Погрешности измерений в процедуре расчета трансформируются в погрешности координат. В качестве такого преобразователя погрешностей используется матрица коэффициентов A.

Определим ковариационную матрицу погрешностей определяемых параметров, используя правила (A B)-1 = B-1 A-1  и  (B-1)T=(BT)-1

D(Dx)=dx dxT = (A-1 du) (A-1 du)T =A-1 du duT (A-1)T =

A-1 D(Du) (A-1)T = (AТ (D(Du))-1  A)-1.

В дальнейшем при написании ковариационных матриц, где это не вносит двузначности, будем опускать аргумент

Обозначим ковариационную матрицу погрешностей координат через

N= D(Dx) = (AТ D-1 A)-1.                                                                       (79)

Для двумерного случая матрица N имеет вид:

,

где n11 - дисперсия по широте

n22 - дисперсия по отшествию.

n12 = n21 - ковариационные моменты.

Вся информация о погрешностях содержится в матрице N . В судовождении часто используется ее геометрическая интерпретация в виде эллипса погрешностей. Установим связь между элементами матрицы N и параметрами эллипса: полуосями и углом ориентации.

В общем случае такая задача рассматривалась Хоттелингом Г. в 1933 г. Было показано, что для ковариационной матрицы существуют векторы, направлениям которых соответствуют максимальные и минимальные значения рассеивания (погрешностей). Численно эти значения соответствуют собственным числам матрицы. Направления собственных векторов, указывающие на направление максимального и минимального рассеивания (дисперсии), соответствуют направлениям полуосей эллипса. Собственные числа - это экстремальные значения дисперсий. Для перехода к линейным величинам - полуосям эллипса (гипер - эллипса для n-мерного пространства), необходимо извлечь квадратный корень.