Навигационные параметры и изолинии. Аналитический метод определения места судна с помощью изолиний. Линеаризация навигационных функций и ее геометрическая интерпретация. Априорная и апостериорная оценка точности обсервации, страница 5

                                                                     (32)

Модули градиентов соответствующих пеленгов выразятся равенствами g1=gПА = 1/DА; g2=gПВ = 1/DВ.

Найденные абсолютные значения градиентов определяют длины двух сторон векторного треугольника. Вычислим третью сторону по формуле косинуса угла плоского треугольника:

                                                  (33)

Раскрыв значения модулей градиентов и приведя к общему знаменателю, получим

               (34)

Выражение с радикалом представляет собой формулу ко­синуса стороны АВ плоского треугольника АВС, которая назы­вается базисом d. Размерность модуля - радиан на милю. Го­ризонтальные углы иногда измеряются в минутах дуги секста­ном, поэтому

ga = 57,3°d/(DA DB) ...°/мнля и ga =3438'*d/(DA DB)  ...’/миля.           (35)

Градиент горизонтального угла всегда направлен к центру окружности - изолинии угла a, т. е. по нормали к ней в сто­рону увеличения этого угла. Определять направление проще всего по графическому построению векторного треугольника градиентов в выбранном масштабе обратных расстояний.

Рис. 14. Градиент горизонтального угла                             Рис. 15. Градиент разности растояний

Градиент разности расстояний (рис. 15). При выводе фор­мулы данного градиента можно воспользоваться тем же приемом, который был применен при выводе градиента горизон­тального угла. Полагаем, что градиент разности расстояний ра­вен разности градиентов расстояний до каждого навигационно­го ориентира А , В. Тогда модуль градиента определится фор­мулой (33), в которой следует понимать под обозначениями g1, g2 модули градиентов расстояний. Значение такого  модуля равно единице, поэтому

,                                    (36)

где w - угол между направлениями на ориентиры в счислимой точке С, часто называемый базовым.

Применяя формулу разложения квадратов тригонометричес­ких функций по кратным дугам, получим

gDD = 2*sin(w/2)                                                                        (37)

Направление градиента определим по рис. 6.20, где построен векторный треугольник градиентов. Так как треугольник равнобедренный (g1=g2=l), линия положения I - I, направ­ленная перпендикулярно градиенту, одновременно является биссектрисой угла w, равного разности пеленгов Па, ПB на ориентиры. Направление градиента

t = (ПАВ)/2±90о                                                                                                                                        (38)

Знак «+» или «-» выбирают так, чтобы градиент был направлен в сторону увеличения разности расстояний DD = DA - DB, т. е. всегда в сторону ближайшего фокуса гиперболы.

Формулы (37) и (38) справедливы для плоскости и для сферической гиперболы. Этот вывод вытекает из равенства единице модулю градиента сферического расстояния и того факта, что касательная к сферической гиперболе делит базовый угол w пополам так же, как и в плоской гипер­боле.

Градиент вертикального угла

Мы уже знаем, что изолиния вертикального угла  - окружность на плоскости. Этот навигационный параметр используется для определения места судна по расстояниям до ориентиров с известной высотой, которые рассчитываются по вертикальному углу, измеренному секстаном.

                                         (39)

t = П                                                                                                        (40)

Рис. 16. Градиент вертикального угла

                        

Рис. 17. Градиенты прямого (а) и обратного (б) пеленгов на сфере

Градиент прямого и обратного пеленгов на сфере. Градиенты пеленгов можно определить по приближенной формуле (25), если воспользоваться свойствами элементарных прямоугольных сферических треугольников.

Для вывода градиента прямого пеленга (рис. 17, а) будем рассматривать пеленг как разность направлений СА и СPN   от точки С на ориентир и Северный полюс. Тогда, как и в случае горизонтального угла, можно считать градиент пеленга разностью градиентов направлений СА и СPN.

 Применяя формулу косинуса стороны для плоского треу­гольника, образованного длинами градиентов, получим оконча­тельную формулу модуля градиента прямого пеленга на сфере

                                         (41)

Зная теперь длины всех сторон треугольника градиентов и его ориентацию относительно меридиана, по формулам плоской тригонометрии можно вывести выражение для направления гра­диента пеленга

tgt =tgj/(ctgDsinП) – ctgП                                                                    (42)

Если пеленг измерен в не слишком высоких широтах j и на малых расстояниях D, то допустимы следующие упрощения:

tg j << ctgD и ctg D » 1/D. В таком случае выражения (41) и (42) вырождаются в формулы градиента пеленга с судна на ориентир на плоскости (29) и (30).

Элементы градиента обратного пеленга (рис. 17,6) не­сложно получить из решения элементарного сферического треу­гольника АСК. В элементарном треугольнике малая сторона, противолежащая малому углу, может быть определена по фор­муле Dn = sin DDП. Отсюда, используя формулу градиента (6.48), получим

gП = DП/(sinDDП) = 1/sinD = cosecD                                                     (43)

Направление градиента в точке С с учетом сферического схождения меридианов

t = Пс+90° = П+g+90°.                                                                         (44)            

1.4  Аналитический метод определения места судна по двум линиям положения.

1.4.1  Теория

Еще этот метод называют  Обобщенным методом линий положения или Итерационным методом последовательного приближению Ньютона.

Для осуществления этого метода необходимо измерить как минимум два навигационных параметра – Uo1 и Uo2, которые соответствуют двум линиям положения.

При определении понятия градиента были установлены все ocнoвныe и дoпoлнитeльныe условия замены изолинии на линию положения. Следовательно, можно перейти к задаче определения места на более реальной, чем метод изолиний основ. 'Решение данной задачи и носит назваяие обобщенного метода линий положения.