Теоремы о дифференцируемых функциях. Исследование поведения функции. Приложения производных к экономическим задачам. Функции многих переменных, страница 8

1. На интервале  возьмем значение p = 100. В этом случае эластичность равна , т.е. . Спрос при этих значениях цен является неэластичным: цена на товар растет быстрее, чем уменьшается на нее спрос.

2. На интервале  возьмем значение p = 225. В этом случае эластичность равна , т.е. . Спрос при этих значениях цен является эластичным: спрос на товар падает быстрее, чем растут на нее цены.

Какие можно дать рекомендации? Если цена единицы продукции составит 100 ден. ед., то спрос будет неэластичным и можно повысить цену продукции, выручка при этом будет расти. При стоимости 225 ден. ед. спрос является неэластичным. В данном случае целесообразно рассмотреть предложения о снижении цены, выручка будет расти в результате увеличения спроса на продукцию.

15.3. Применение производной для функции, заданной таблично

В экономической практике все  количественные изменения какого-либо признака (прибыли, числа продаж, затрат на организацию производства) компонуются и представляются таблицей. Для более наглядного обозрения процесса привлекают графики и диаграммы. Рассмотрим возможности дифференциального исчисления для описания функции, заданной таблично.

Проведем математическое исследование экономической задачи по тому же плану, который мы обозначили в предыдущей главе.

1 Область допустимых значений аргумента и область значений функции. Точки разрыва.

2. Точки пересечения с осями координат.

3. Интервалы возрастания – убывания, точки экстремумов.

4. Интервалы выпуклости – вогнутости, точки перегиба.

Такие характеристики, как симметрия и асимптоты мы опустим, ввиду ограниченности и неотрицательности временного интервала, на котором рассматривается любая экономическая задача. Коротко осветим все особенности указанных пунктов, для функции, заданной таблично.

Итак, пусть функция задана таблицей.

Янв.	Февр.	Март	Апр.	Май	Июнь	Июль	Авг.	Сент.	Окт.	Нояб.	Дек.
9,1	11,2	–	6,4	3,1	0	2,6	3,1	2,0	–1,2	–3,1	2

1. Областью ее определения является перечень всех значений аргумента Х [1, 12] месяцев, а могут быть кварталы, годы и т.д. Область значений функции – от самого малого до самого большого Y Î [–3,1; 11,2] Это, как правило, деньги, например – прибыль. Точками разрыва являются точки, где отсутствует информация. Об этом говорит прочерк (март). Заменять прочерк нулем нельзя: март может быть нерабочим месяцем, где прибыль равна нулю, либо настолько выдающимся, что о ней лучше умолчать (рис. 15.1).

Рис. 15.1

2. Точки пересечения с осью абсцисс найти легко – это точки, где у = 0 или меняет свой знак. В нашем случае это июнь, и промежутки сентябрь – октябрь, ноябрь – декабрь. Эти точки называются корнями функции. Точки пересечения с осью ОY специального названия не имеют. В экономических таблицах – это остаток на 1 января, плановая составляющая на каждый месяц, либо другая информативная цифра, с которой в дальнейшем идет сравнение.

3. Интервалы возрастания-убывания и точки экстремумов. Напомним, что функция называется возрастающей, если большему значению Х соответствует большее значение Y и убывающей в противном случае. Точки, отделяющие интервал возрастания от интервала убывания называются точками максимума, и минимума, если они разделяют убывание от возрастания. Для простого ответа на этот вопрос достаточно внимательно посмотреть на таблицу. Для более детального используем численную производную , где Dx – приращение аргумента и Dy – приращение функции. Его находят как разность значений, стоящих в соседних клетках. Их называют разностями первого порядка, а экономисты – абсолютным или цепным приростом. Если разности положительны, то и прирост – тоже, и функция будет возрастающей. Если разности отрицательны, то убывающей. Если прирост разделить на время – получим скорость прироста за месяц, квартал, год, день. Это и будет первая производная.

В нашем случае с января по февраль наблюдалось возрастание прибыли, с апреля по июнь – убывание, с июня по август – также незначительное возрастание, а потом – провал, хотя в декабре удалось «выйти в плюс». Наиболее удачным месяцем был февраль – максимальная прибыль, наиболее неудачным – ноябрь, где был минимум  объема выпуска продукции.

4. Выпуклость и вогнутость, точки перегиба характеризуют ускорение процесса. За них отвечает вторая производная, и, следовательно, вторые конечные разности. Если первые разности оценить легко, то для вторых необходим дополнительный расчет, результаты которого желательно свести в таблицу.

Рассмотрим следующий пример, в котором будем использовать как привычные  для экономистов оценки, так и численные производные.

Пример 15.6. Предприятие по плану выпускает продукцию на 600 млн. руб. в год. Плановый показатель определен как 50 млн. руб. в месяц. Фактический объем продукции составил 621,65млн. руб. Данные по факту выпускаемой продукции приведены в таблице. 1) Рассчитать процент выполнения плана по месяцам, кварталам, году. 2) Сделать вывод, какой период оказался наиболее успешным и какой – неудачным.

Решение.

В таблицу, кроме исходных данных поместим и расчетные показатели.

Таблица. Объем выпуска продукции за  20008 год.

Месяц	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	Итог
Объемы, млн. руб.	35,3	56,7	68,0	71,3	68,7	62,0	53,3	44,7	38	35	38,7	50	621,7
Первые разности		21,4	11,3	3,3	–2,6	–6,7	–8,7	–8,6	–6,7	–3	3,7	12,3	15,7
Вторые разности			–10,7	–7,4	–5,9	–4,1	–2,0	0,1	2,1	3,7	6,7	8,6
Процент выпол нения плана	70,6	113	136	142	137	124	106	89,4	76	70	77,4	100	103,6
Базовый прирост	–11,6	6,7	18	21,3	18,7	12	3,3	–5,3	–12	–15	–11	0	21,7