Теоремы о дифференцируемых функциях. Исследование поведения функции. Приложения производных к экономическим задачам. Функции многих переменных, страница 4

2. Рассмотрим разность . Напишем для нее формулу Лагранжа (а вы думали, что мы о ней забудем до экзамена?). Итак, .

3. По условию , и по нашему выбору (см. п. 1), поэтому произведение .

4. Но тогда и (левая и правая части равенства всегда имеют одинаковые знаки), т. е. , что и говорит о возрастании .

Таким образом, необходимое и достаточное условия возрастания функции нами полностью доказаны. Запишем формулировки рассмотренных теорем символически следующим образом:

Вопросы для размышления.

1. Являются ли теоремы 14.1 и 14.2 взаимно обратными? В чем между ними различие?

2. Как изменятся формулировки этих теорем, если мы будем рассматривать не строго возрастающие функции? Можно ли их объединить в одну теорему?

Аналогично доказываются необходимое и достаточное условия убывания функции.

Теорема 14.3 (необходимое условие убывания функции). Пусть функция непрерывна на отрезке . Для того, чтобы она была всюду убывающей на этом отрезке необходимо, чтобы ее первая производная была всюду неположительна, т.е. .

Теорема 14.4 (достаточное условие убывания функции). Пусть функция дифференцируема на отрезке и ее производная всюду отрицательна, т.е. . Тогда функция будет всюду убывающей.

Символически это записать следующим образом:

Напомним, что функция только возрастающая или только убывающая называются монотонными и термин «интервалы возрастания - убывания» – заменятся термином «интервал монотонности».

А теперь, вооруженные признаками для определения интервалов монотонности, а также теоремой Ферма для экстремумов, дадим признаки существования максимума и минимума функции для практического их применения.

14.5. Точки экстремума. Необходимые и достаточные условия

Определение 14.3. Точки, отделяющие интервал возрастания непрерывной функции от интервала убывания (или наоборот) называются экстремумами функции.

В зависимости от того, какие интервалы (возрастания или убывания) находятся слева и справа от экстремальной точки, их называют точками локального максимума или минимума, потому что значение функции в этих точках будут наибольшими или наименьшими только для некоторой их окрестности. Экстремальные точки всегда интересны, ведь они являются точками наивысшего подъема или падения, пусть даже и местного значения.

По теореме Ферма, рассмотренной в лекции 13, производная в этих точках равна нулю, либо не существует. Но как показывают контрпримеры, например функции для равенство нулю производной в точке не гарантирует наличия экстремума – обратная теорема не всегда верна. И смотреть значения функции слева и справа от экстремумов тоже задача хоть и интересная, но иногда затруднительная. Например, как найти значения функции и др. функций, не имея под рукой хорошего калькулятора? Поэтому для нахождения точек экстремумов воспользуемся определением 14.3 и найдем простые, гарантированные признаки, позволяющие определять, как будет вести себя функция вблизи минимума или максимума – возрастать или убывать.

Теорема 14.5 (необходимое и достаточные условия максимума). Пусть функция дифференцируема на отрезке . Для того, чтобы функция в точке функция имела максимум необходимо, чтобы производная в этой точке равнялась (или не существовала) и достаточно, чтобы меняла свой знак с (+) на (–) при переходе через слева направо.

Необходимость следует из теоремы Ферма. Если – точка максимума, то (или не существует).

Рис. 14.4 Рис. 14.5

Достаточность диктуется определением максимума, как точки, отделяющей интервал возрастания от интервала убывания. Слева от функция возрастает, следовательно, ее производная ; справа убывает и , т. е. меняет свой знак в точке . Значит в точке функция имеет максимум.

Аналогично вводится признак существования минимума функции.

Теорема 14.6 (необходимое и достаточные условия минимума). Пусть функция дифференцируема на отрезке . Для того, чтобы функция в точке функция имела минимум необходимо, чтобы производная в этой точке равнялась и достаточно, чтобы меняла свой знак с (–) на (+) при переходе через слева направо (рис. 14.5).

Таким образом, порядок действия нахождения экстремумов функции таков:

1. Находим и решаем уравнение . К корням этого уравнения добавляем точки, в которых производная не существует. Все эти точки являются точками подозрительными на экстремум (критические точки).

2. Определяем знаки вблизи критических точек на всех интервалах непрерывности.

3. Делаем выводы о наличии экстремумов и интервалов возрастания и убывания.

4. Находим ординаты экстремальных точек , где – экстремум.

Обычно все значения знаков сводятся в таблицу (школьный прием) и делаются соответствующие выводы. Не будем ломать стереотип. Добавим только, что исследования необходимо проводить на всех интервалах непрерывности.

Пример 14.1. Определить экстремумы функций:

1) , 2) .

Решение. 1) С первой функцией мы уже знакомы и знаем, что ее ОДЗ являются интервалы . Найдем

а) , т. к. , поэтому экстремумов нет.

б) определим знак на каждом из интервалов. Поскольку для любых , то знак будет всегда отрицательным. То есть на всех интервалах непрерывности наша функция будет убывать, что и демонстрирует рис. 14.2.