Теоремы о дифференцируемых функциях. Исследование поведения функции. Приложения производных к экономическим задачам. Функции многих переменных, страница 6

Рис. 14.11

Проще всего найти вертикальную асимптоту. Она, как правило, присутствует в точках разрыва 2-го рода, где один или оба односторонние предела не существуют, т. е. . Это точки, где знаменатель обращается в нуль или граничные точки области определения функции.

Например, функция  имеет 2 точки разрыва 2-го рода:  и . Подробно ее поведение мы обсудили в примере 14.3. Односторонние пределы равны , поэтому делаем вывод, что прямые  и  являются вертикальными асимптотами.

Функция  имеет одну точку бесконечного разрыва: , поэтому прямая  – вертикальная асимптота. Функция  при  имеет множество точек разрыва 2-го рода , где  и, следовательно, столько же вертикальных асимптот. Вспомните график тангенсоиды, и вам все станет понятным.

Функция  имеет одну точку, подозрительную на разрыв: . В ней и знаменатель обращается в нуль и . То есть . Действительно прямая , т.е. ось , будет левосторонней (располагающейся слева от графика) асимптотой (рис. 14.12).

Рис. 14.12

Практически также просто определить наличие горизонтальной асимптоты. Если функция  при  имеет предел, равный числу , то прямая  является горизонтальной асимптотой.

Например: функция  имеет горизонтальную асимптоту, т.к. , т. е. при  прямая  служит нижней горизонтальной асимптотой, график функции располагается выше оси . Если , то ось  является верхней горизонтальной асимптотой, т.к.  (рис. 15.4).

Функция  не имеет горизонтальной асимптоты, т. к. .

И, наконец, функция  при  также имеет горизонтальную асимптоту  (верхнюю или нижнюю?).

Определить характер стремления к своей асимптоте проще всего, найдя предел разности . Если он больше нуля, то асимптота проходит выше графика функции, меньше – ниже.

Именно этот прием – нахождения разности между точками, лежащими на прямой и графиком функции , – лежит в основе определения параметров наклонной асимптоты.

На рисунке 14.13 приведен график функции , имеющий наклонную асимптоту. Это значит, что разность  стремится к нулю при неограниченном удалении от начала координат, т. е. при . Пусть уравнение асимптоты записано в виде , функции .

Найдем указанную разность значений  при одинаковых значениях аргумента :

.         (14.3)

При  эта разность должна стремиться к нулю, т. е.

.         (14.4)

Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела. Вынесем  за скобки, получим:

.

Для того, чтобы это произведение было равно нулю, необходимо чтобы хотя бы один сомножитель был равен нулю. Т.к. , то только . Но , поэтому остается , откуда

.                                                (14.5)

Вернемся к равенству (14.4). Найдем из него , помня, что предел постоянной равен самой постоянной:

,                                        (14.6),

где  находится по формуле (14.5).

Если хотя бы один из этих пределов не существует – график функции  наклонной асимптоты не имеет. Очевидно, что по тем же формулам можно найти наклонные асимптоты и при , причем случается, что они не совпадают.

Пример 14.4. Определить, будет ли функция  иметь наклонную асимптоту.

Решение: Воспользуемся формулами (14.5) и (14.6)

,

.

Таким образом, прямая  является наклонной асимптотой при .

Для правильного построения графика функции и асимптоты найдем разность  при .

То есть, если , то асимптота располагается выше графика функции, если , то ниже.

Строим график, учитывая все предыдущие исследования.

Рис. 14.14

14.8. Пример исследования функции

Для закрепление этого большого материала проведем полное исследование функции по плану, означенному в начале лекции:

.

1. Область определения функции: , точек разрыва нет.

2. Симметрия: , т. е. данная функция нечетная, проходит через точку ,  и имеет корни, которые можно найти решив уравнение, . Решим это уравнение графически . Построим график функции  и . Если они пересекутся – то исходная функция имеет корни. График функции  получается симметричным отражением графика  относительно прямой . Прямую  построим по точкам.

Рис. 14.15

Как видно из рис. 14.15 эти два графика пересекаются в точках  и , то есть корни функции лежат в этих интервалах. Более точно найти корни можно при помощи метода половинного деления (см. лекцию 10).

3. Экстремумы, интервалы возрастания – убывания.

.

Тогда , если , т.е. если  и . Определим знак  на каждом из интервалов . Данные сведем в таблицу

, интервал	, знак	вывод
	+	возрастает
	0	максимум	0,57
	–	убывает
	0	минимум	–0,57
	+	возрастает

Найдем значения исходной функции в экстремальных точках и начертим первый «прибросочный» график (рис. 14.16).

,

 в силу симметрии.

Рис. 14.16

4. Точки перегиба, интервалы выпуклости вогнутости.

Найдем

.

Тогда , если .

Составим таблицу знаков для , которая подтверждает наш рис. 15.9.

		Вывод
	–	выпуклая
0	0	точка перегиба	0
	–	вогнутая

5. Найдем наклонные асимптоты функции, так как ни вертикальной ни горизонтальной она иметь не может (почему?), причем учтем, что их в силу симметрии будет две. Итак, найдем  и  для уравнения .

,

.

Здесь мы учли, что . То есть прямая  является правосторонней наклонной асимптотой .

Если , то коэффициент  не изменится, а  станет равным , потому что . Левосторонняя асимптота имеет вид . Начертим общий график (рис. 14.17).

Рис. 14.17

14.9. Заключение

На этом мы закончим тему «Исследование функции методами дифференциального исчисления». Этот материал вам необходим для решения соответствующей задачи контрольного задания.

Следующий материал поможет вам в практической работе при исследовании функций, заданных таблично или графически.

Лекция 15.