Лампа бегущей волны. Принцип работы ЛБВ О-типа. Теория ЛБВ в режиме малого сигнала, страница 2

(4)    

(5)   .

Можно ввести волновое сопротивление для продольного поля , характеризующее отношение продольных составляющих тока и напряжение в месте пролета пучка. Оно имеет смысл сопротивления связи, через которое ток пучка взаимодействует с волной в линии. Постоянная распространения волны в замедляющей линии , где  - фазовая скорость волны в замедляющей системе; . Эта постоянная распространения дает решение для волны в отсутствии пучка. 

Решение этой системы уравнений будем искать при следующих упрощениях:

1.  Линейное приближение, т.е.  и  - малые колебания.

2.   Одномерная модель. 

Чтобы начисто переписать подготовленную к решению систему уравнений, разложим полную производную скорости в первом уравнении

, и учитывая линейное приближение , , можно записать упрощенные уравнения для переменных величин, учитывая что постоянные составляющие исчезают:

   (1)

                             (2)

                   (3) 

            (4)  здесь проведена замена i_навед=-i

                      (5)

             (6)

Решением линейных дифференциальных уравнений являются волны, распространяющиеся вдоль z, они представлятся экспонентами вида , где  - множество из шести неизвестных амплитуд соответствующих величин.

Подстановка экспонент указанного вида эквивалентна замене  и , . Таким образом мы получаем Фурье - образ системы линейных дифференциальных уравнений в виде системы шести однородных алгебраических уравнений для данных шести неизвестных:

                (1)

                                       (2) 

                                       (3)

                             (4)

                                      (5)

                             (6).

Первые три уравнения, и шестое описывают взаимодействие электронного потока, третье и четвертое - поля в линии. Их можно записать в виде равенства нулю матрицы коэффициентов М, умноженной на вектор V- столбец из перечисленных шести неизвестных :   M×V=0

Однородная система имеет нетривиальные решения при равенстве нулю ее определителя (детерминанта) detM=0. Частота w нам дана усиливаемым сигналом, надо найти обнуляющую детерминант постоянную распространения  Г. Детерминант М   имеет выражение:     

                    .

Тривиальный корень Г=0 нас не интересует, а в скобках остается уравнение 4-й степени, сложное для анализа в таком виде без дополнительных упрощений и добавочных физических понятий.

Из первых трех и шестого уравнения получается выражение для переменной составляющей тока пучка. Из уравнения (1) выражаем переменную скорость, подставив выражение электрического поля пространственного заряда  из уравнения (2): ; а из уравнений (3) выражение   и подставляем его в уравнение  (6) вместе с последним выражением переменной составляющей скорости  (6) , а в выражении скорости тоже заменяем r на его выражение из уравнения (3)

, где - плазменная частота. Независимо от этого мы можем получить выражение для i из уравнений (4) и (5) путем исключения тока в линии I:

;   ; .

Вводя обозначение постоянной распространения  в "холодной линии" , приравниваем i=i и, сократив с двух сторон множитель U получаем дисперсионное уравнение:. Для дальнейших преобразований наружного вида этого уравнения учтем три соотношения: во первых, соотношение между индуктивной погонной реактивностью, волновым сопротивлением и постоянной распространения, во вторых определение полного тока пучка , и, в третьих, соотношение между скоростью и энергией нерелятивистского электрона . После этих подстановок дисперсионное уравнение имеет вид:

.