Численное решение краевой задачи для уравнения теплопроводности

ЗАДАНИЕ 1 (МФ, 3 курс, весна)

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ

ДЛЯ  УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

Плоский слой  (a < x < b)  с начальным распределением температур u(x,0)=u₀(x) (a < x <b) в течение некоторого конечного времени (0 < t <= T) подвергается внешнему тепловому воздействию при x=a:

a)  первого рода  u(x,t) =w(t);

b)  либо второго рода   u_x(x,t)=-q(x,t);                                                                (1)

c)  либо третьего рода   u_x(x,t)=α (u(x,t)- w(t))

и  при x=b:

d)  первого рода  u(x,t) =v(t);

e)  либо второго рода   u_x(x,t)=r(x,t);                                                                  (2)

f)  либо третьего рода   u_x(x,t)= - β (u(x,t)- v(t)).

В (1)–(2)  функции w(t), v(t) суть температуры среды вблизи границы слоя, функции q(x,t), r(x,t) имеют смысл внешних потоков тепла к границам слоя,  а положительные постоянные α и β  означают коэффициенты теплоотдачи, влияющие на теплосъем с поверхности (например, чем сильнее ветер, тем больше коэффициент теплоотдачи).

В области изменения переменных (a < x < b, 0 < t < T) температура u(x,t) удовлетворяет уравнению теплопроводности

u(x,t) _t = u(x,t) _xx + f(x,t),                                                                      (3)

где f – плотность внутренних источников тепла.

Уравнение (3) аппроксимируется на равномерной сетке  {x _i = a + i h, i=0, …, N; h= (b–a)/N} неявной двухслойной разностной схемой

(u ⁿ⁺¹ – u ⁿ)/τ = Λ (σ u ⁿ⁺¹ + (1– σ) u ⁿ) + g ⁿ,                                          (4)

где u ⁿ = u (t) – решение на временном слое t = n τ, Λ– трехточечный разностный аналог операции двойного дифференцирования по пространственной переменной

(Λz) _i = (z _i+1 - 2 z _i + z _i-1) / h².

Схема (4) имеет различную точность в зависимости от того, какое значение имеет вес схемы σ, как аппроксимируется правая часть и граничные условия.

1.  Схема с погрешностью O(τ + h ²).

σ - любое число из отрезка (0, 1). При σ = 0 схема явная. В противном случае схема неявная. В этом варианте рекомендуется взять σ = 1, т.е. чисто неявную схему.

g ⁿ = f(n τ)  с точностью до  величин O(τ).  Первые производные в граничных условиях при этом должны аппроксимироваться с точностью O(τ +h ²).

2.  Схема с погрешностью O(τ ² + h ²).

σ =0.5.

g ⁿ = f(n τ +τ/2)   или g ⁿ = (f ⁿ⁺¹ + f ⁿ)/2 с точностью до  величин O(τ ²).  Первые производные в граничных условиях при этом должны аппроксимироваться также с точностью O(τ ² + h ²).

3.  Схема с погрешностью O(τ ² + h ⁴).

σ =1/2 – h ²/(12 τ), g ⁿ = [E + h ² / 12 Λ]  f(t+τ/2) или g ⁿ = f(t +τ/2) + h ² / 12 f_xx(t +τ/2) с точностью до  величин O(τ ² + h ²) Первые производные в граничных условиях при этом должны аппроксимироваться с точностью O(τ ² + h ⁴).

Об аппроксимации граничных условий см. Приложение 1.

Задание состоит в сравнении методов 1, 2, 3 при одном из сочетаний вариантов граничных условий (a, b, c) и (d, e, f) (в индивидуальных заданиях разные сочетания) на тестовых задачах.

Тестовую задачу можно создать стандартным образом, исходя из "придуманного" решения u(x,t). По нему устанавливается правая часть f(x,t) и начальное распределение u₀(x), а после фиксации области, т.е. задания параметров a, b, T (при условиях третьего рода следует задать также коэффициенты теплоотдачи), устанавливаются зависимости от времени температур внешней среды и падающих тепловых потоков). Решая затем численно краевую задачу с установленными входными данными, в случае сходимости схемы должны получить приближенные решения, близкие к точным. Не следует брать в качестве решений самые простые функции (например, полиномы невысоких степеней), чтобы погрешность аппроксимации не была равна нулю тождественно.