Аппроксимация первой производной в граничных условиях

1. Постановки задачи.

Пусть в области  дано уравнение

                                                                                  с граничными условиями смешанного типа

  (при )                          

  (при )                            где , - заданный параметр.

В уравнении   и   

где  - известное (заданное) тестовое решение.

2.Конечно-разностеное уравнение. Прогонка.

Введем в области  равномерную сетку с узлами , , , где  - заданный параметр.

Аппроксимируем вторую производную с порядком :

                                                   где введены сеточные функции , .

Тогда уравнению          будет соответствовать разностное уравнение вида

                                                         

Найдем  методом подстановки выражения для второй производной в наше уравнение:

  .                                                                     

Разностное уравнение  эффективно решается с помощью метода прогонки:

,  , где  выражаются через  по формулам

,   .

Чтобы воспользоваться формулой для прогонки нужно получить   , , для чего привлекается граничное условие  .Для счета             по прогоночной формуле необходимо, кроме сосчитанных  , , иметь значение , которое находится с помощью граничного условия .

3. Реализация граничных условий.

.

Аппроксимация первой производной в граничных условиях при реализации последних.

а).

При :

 - грубое приближение первого порядка, снижающее точность расчетов.

Подставим  в граничное условие . Получим: .

В результате имеем: , .

При :

 - приближение первого порядка.

Подставим  в граничное условие и используя (7): , находим:

.

в).

При :

 - аппроксимация второго порядка, не требующая выхода за пределы единичного интервала.

Подставим в граничное условие и используя

, находим: .

Таким образом получаем .

При x=1:

 - приближение второго порядка..

Подставим  в граничное условие . Решая систему:

, находим

.

4. Тестовое решение.

Возьмем две гладкие функции  и , сконструируем тестовое решение в виде:

, где  зададим как параметр, а  и  найдем из граничных условий (2) и (3), которые дадут систему:

, или в нашем случае:

Решая систему, находим коэффициенты :

,

5. Полученные результаты.

Расчеты произведены для , ,  .

.

Метода а.

k	N(число узлов)	Error(погрешность)	q(порядок сходимости)
0	4	0,67414432	0,41807099
1	8	0,50454624	0,84103825
2	16	0,28165874	0,93633434
3	32	0,14718329	0,97046390
4	64	0,07511381	0,98564829
5	128	0,3793238	0,99289734
6	256	0,01905979

Таблица 2(для метода б)).

k	N	Error	q
0	4	1,27191275	0,81842653
1	8	0,72125093	2,13036613
2	16	0,16473363	2,28304321
3	32	0,03370634	2,2326053
4	64	0,00717176	2,14771325
5	128	0,00161845	2,08246651
6	256	0,00038213

Таким образом, по данным таблицы можно сделать вывод, что метод а имеет первый порядок сходимости, метод в имеет второй порядок сходимости.