Аппроксимация первой производной в граничных условиях

Страницы работы

Содержание работы

1. Постановки задачи.

Пусть в области  дано уравнение

                                                                                  с граничными условиями смешанного типа

  (при )                          

  (при )                            где , - заданный параметр.

В уравнении   и   

где  - известное (заданное) тестовое решение.

2.Конечно-разностеное уравнение. Прогонка.

Введем в области  равномерную сетку с узлами , , , где  - заданный параметр.

Аппроксимируем вторую производную с порядком :

                                                   где введены сеточные функции , .

Тогда уравнению          будет соответствовать разностное уравнение вида

                                                         

Найдем  методом подстановки выражения для второй производной в наше уравнение:

  .                                                                     

Разностное уравнение  эффективно решается с помощью метода прогонки:

, где  выражаются через  по формулам

,   .

Чтобы воспользоваться формулой для прогонки нужно получить   , , для чего привлекается граничное условие  .Для счета             по прогоночной формуле необходимо, кроме сосчитанных  , , иметь значение , которое находится с помощью граничного условия .

3. Реализация граничных условий.

.

Аппроксимация первой производной в граничных условиях при реализации последних.

а).

При :

 - грубое приближение первого порядка, снижающее точность расчетов.

Подставим  в граничное условие . Получим: .

В результате имеем: , .

При :

 - приближение первого порядка.

Подставим  в граничное условие и используя (7): , находим:

.

в).

При :

 - аппроксимация второго порядка, не требующая выхода за пределы единичного интервала.

Подставим в граничное условие и используя

, находим: .

Таким образом получаем .

При x=1:

 - приближение второго порядка..

Подставим  в граничное условие . Решая систему:

, находим

.

4. Тестовое решение.

Возьмем две гладкие функции  и , сконструируем тестовое решение в виде:

, где  зададим как параметр, а  и  найдем из граничных условий (2) и (3), которые дадут систему:

, или в нашем случае:

Решая систему, находим коэффициенты :

,

5. Полученные результаты.

Расчеты произведены для , .

.

Метода а.

k

N(число узлов)

Error(погрешность)

q(порядок сходимости)

0

4

0,67414432

0,41807099

1

8

0,50454624

0,84103825

2

16

0,28165874

0,93633434

3

32

0,14718329

0,97046390

4

64

0,07511381

0,98564829

5

128

0,3793238

0,99289734

6

256

0,01905979

Таблица 2(для метода б)).

k

N

Error

q

0

4

1,27191275

0,81842653

1

8

0,72125093

2,13036613

2

16

0,16473363

2,28304321

3

32

0,03370634

2,2326053

4

64

0,00717176

2,14771325

5

128

0,00161845

2,08246651

6

256

0,00038213

Таким образом, по данным таблицы можно сделать вывод, что метод а имеет первый порядок сходимости, метод в имеет второй порядок сходимости.

Похожие материалы

Информация о работе

Тип:
Контрольные работы
Размер файла:
199 Kb
Скачали:
0