Задача о распространении тепла в стержне, теплоизолированном по «поверхности»

1. Описание постановки задачи.

Рассмотрим задачу о распространении тепла в стержне, теплоизолированном по «поверхности», на концах которого выполняются различные условия теплообмена:

, , .                                    

Граничные и начальные условия:

При  ;      

При  ,          при  .                                                       

Здесь  - заданная правая часть, ,  - линейные дифференциальные выражения, ,  - заданные параметры, либо заданные асимптотически постоянные функции  (температура окружающей среды),   - заданная функция (начальное распределение температуры в стержне).

2. Тестовое решение.

Если  и , то , то есть к «асимптотическому» решению уравнения теплопроводности. Очевидно, оно линейно и его можно записать в виде

,                                                               где , находятся из условия удовлетворения  граничным условиям , .

В сформулированной для меня задачи получаем:

.

Таким образом,.

Сначала рассмотрим вспомогательную задачу

;                                                                                        

, ;                                                 

,                                                                             где функция  позже будет конкретизирована.

Решение этой задачи ищем в виде ряда

;                                                               

;                                              

.                                                                  

 удовлетворяет уравнению  и граничным условиям ,. Эти условия порождают систему для нахождения , имеющую вид

, ().                                                                 

Или в моем случае:

.

.

Равенство нулю определителя в системе  приводит к уравнению

, что в моем случае выглядит следующим образом:

, или в другом виде

, т.е. для моего случая

Получаем , значит   ищется итерацией (метод проб):

.

Здесь  - эмпирически подобранные и задаваемые параметры.

Из системы  , () имеем , , - произвольный ненулевой множитель, возьмем .

В моей задаче , следовательно можно положить , .

Таким образом,

.         

С учетом соотношения  для находится выражение

Разложим   и  в ряд по базису :

, ,

, .

 и  легко находятся:

В моей задаче

Здесь , (),  - финитная функция в виде равнобедренного треугольника с высотой , вершиной в точке и шириной полуоснования

Я рассмотрела ,,.Тогда

В задаче сформулированной для меня граничные условия нестационарные, правой части нет.

Пусть , , .

, , - заданные параметры, (при всех )

Рассмотрим функцию  и ее производную по времени:

;                                                              

.                                                                  

Введем функцию  соотношением .

 будет решением задачи

.                                                                           

Решение этой задачи с однородным уравнением , то есть при , дается рассмотренными выше формулами

;                                                               

;                                              

. .

Вариация произвольных постоянных  с учетом правой части уравнения  дает в итоге тестовое решение:

.