Спектры непериодических сигналов. Одностороннее преобразование Фурье. Связь с преобразованием Лапласа

10.3. Спектры непериодических сигналов

 

Отложим по оси ординат величину  

Обозначим

Ряд Фурье в комплексной форме

Устремим Т→∞ и совершим предельный переход.

При Т→∞: ; ;

- прямое преобразование Фурье

- обратное преобразование Фурье (интеграл Фурье)

F(jω)-комплексная спектральная плотность

-спектральная плотность амплитуд

 - спектральная

плотность фаз

Спектр прямоугольного импульса

При ω=0   

Нули спектральной плотности амплитуд:

В пределах первого лепестка спектра сосредоточено около 90% всей энергии импульса.

За ширину спектра импульса можно принять полосу частот

 

Чем короче импульс, тем шире его спектр.

Связь дискретного и непрерывного спектров

Чтобы получить дискретный спектр периодического сигнала, нужно заменить в спектральной плотности непериодического сигнала частоту ω на nω1.

Тогда

Например, для периодической последовательности прямоугольных импульсов

, или

10.4. Одностороннее преобразование Фурье.

Связь с преобразованием

Лапласа

 

При f(t)=0 для t<0

где    р=a+jw.

При α=0, т.е. при  прямое преобразование Лапласа переходит в прямое преобразование Фурье.

И наоборот,  при  прямое преобразование Фурье переходит в прямое преобразование Лапласа.

или

Таким образом, при  или  преобразования Фурье и Лапласа переходят друг в друга.

Для отыскания спектра можно использовать преобразование Лапласа.

Спектр импульса включения        (ступенчатого воздействия)

Спектр синусоидального импульса включения

φ(ω)=0 при ω<ω₀ ;

φ(ω)= при ω>ω₀ .

Спектр δ – импульса

    

Спектр экспоненциального импульса