Векторы и координаты, задачи на отношения, страница 4

                                                          .                                              (1.14)

Вычитая из равенства (1.13) равенство (1.14), получаем

                                               .

Это означает, что, либо вектор  равен нулю, либо он перпендикулярен вектору .

Аналогично, записывая условие перпендикулярности векторов  и  и, используя равенство , получаем

                                               .

Опять же, либо вектор  равен нулю, либо он перпендикулярен вектору . Но вектор  не может быть одновременно перпендикулярным сторонам BC и AC треугольника ABC, следовательно, он равен нулю, т. е.

В правильном шестиугольнике ABCDEF со стороной 1 точка M - середина стороны АВ, точка N - середина стороны ВС. Отрезки FN и EM пересекаются в точке К. Найти длину отрезка МК.

Упражнение.

Используя этот результат, докажите, что .

Задачи для самостоятельного решения.

1.23. (РЭА, 1996) Найти значение координаты y, при котором вектор  разлагается по векторам  и .

1.24 . (НГУ) Какой наименьший угол могут образовать векторы  и ? Система координат прямоугольная.

1.25. Вычислить длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах  и , если известно, что , , а угол между векторами  и  равен 45⁰.

1.26. Даны три единичных вектора ,  и  таких, что . Найдите .

1.27. Векторы ,  и удовлетворяют условию . Вычислить , если , , .

1.28. Найдите угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах  и

1.29. Определить, при каких x и y вектор коллинеарен вектору .

1.30. Найти угол между векторами (–3; 4; 0) и (5; 0; –12). Система координат прямоугольная.

1.31. Используя скалярное произведение векторов, найти углы треугольника с вершинами A(–2; –3), B(2; 1), C(1; 4).

1.32. Векторы и  неколлинеарны. Найдите, при каком значении x векторы  и  будут коллинеарны.

1.33. (МГАХМ) В трапеции ABCD даны вершины A (2; –8), B (5; 6), D (–3; 7). Известно, что основание BC в пять раз меньше основания AD. Найдите координаты точки C.

1.34. Даны три некомпланарных вектора ,  и . Найдите числа x и y, при которых векторы  и  будут коллинеарны.

1.35. Векторы  и  неколлинеарны. Найти значения x и y, при которых векторы  и  равны.

1.36. Векторы  и  неколлинеарны. Найти значения x и y, при которых справедливы векторные равенства

, , ,

1.36. Найти , если угол между единичными векторами и  равен 60⁰.

1.37. Даны три точки A (3; 2), B (5; 1), D (1; –2). Найти длину диагонали AC параллелограмма ABCD. Система координат прямоугольная.

1.38. Найти координаты вектора , компланарного с векторами , перпендикулярного вектору  и такого, что .

1.39. Найти угол между векторами и , если  и вектор  перпендикулярен вектору .

1.40. При каком значении k точки A (1; 0; 3), B (–1; 3; 4), C (1; 2; 1) и D (k; 2; 3) лежат в одной плоскости?

1.41. Треугольник ABC задан координатами своих вершин A (1; 1; 0), B (1; 1; 2), C (3; 3; 1). Найдите величину угла при вершине A.

1.42. Векторы ,  и  таковы, что , , . Найдите .

1.43. Докажите, что четырехугольник с вершинами в точках A (7; 2; 4), B (4; –4; 2), C (6; –7; 8) и D (9; –1; 10) является квадратом.

1.44. Тетраэдр ABCD задана координатами своих вершин A (3; 0; 1), B (–1; 4; 1), C (5; 2; 3) и D (0; –5; 4). Вычислите длину вектора , где M точка пересечения медиан треугольника BCD. Система координат прямоугольная.

1.45. В тетраэдре ABCD M и N являются соответственно точками пересечения медиан граней ABD и BCD. Докажите, что вектор  коллинеарен вектору  и найдите отношение .