Векторы и координаты, задачи на отношения, страница 2

Выберем прямоугольную систему координат так, чтобы направление оси абсцисс совпадала с направлением вектора . В этом случае вектор  имеет координаты , при этом . Покажем, что для любого вектора  с координатами  верно равенство . Пусть j – угол между векторами  и, тогда  и . Таким образом, , и , следовательно . Аналогично для вектора  с координатами  имеем . Равенство (1.8) доказано.

Как видим, свойства скалярного произведения таковы, что проводя выкладки, можно раскрывать скобки, приводить подобные точно так же, как и с числами.

Пример 6. ;

.

Вопрос

Дано равенство . Можно ли сократить обе части равенства на ? Следует ли отсюда, что ?

Пример 7. Докажем с помощью скалярного произведения теорему косинусов.

Пусть в треугольнике ABC угол A равен j, , , . Запишем векторное равенство  и возведем обе его части в квадрат. Получим:

, т. е. . Теорема доказана.

Рассмотрим, как вычислить скалярное произведение, когда векторы заданы своими координатами. Пусть в некотором базисе  даны вектор  и вектор . Это означает, что  и . Тогда скалярное произведение этих векторов

                                                                           (1.9)

Раскрывая в (1.9) скобки, полуим пугающе громоздкое выражение

                          

Его можно сильно упростить, если выбрать базисные векторы ортогональными и единичными, т. е. так, чтобы  и . В этом случае скалярное произведение принимает удобный и компактный вид:

                                                                                                               (1.10)

Формула (1.10) позволяет вычислить длину вектора, заданного своими координатами. Для этого надо в (1.10) положить . Отсюда

                                                                                                      (1.11)

Кроме того, (1.10) позволяет вычислить угол j между векторами, заданными своими координатами. Действительно, из определения скалярного произведения получаем

                                                   .                                        (1.12)

Рассмотрим теперь применение скалярного произведения при решении задач.

Задача 1.36. Какому условию должны удовлетворять неколлинеарные векторы  и , чтобы выполнялось условие

а)           

b)           

c)            

Решение. Возведем обе части равенства a) в квадрат и получим

. Отсюда следует , т. е. угол между векторами  и  прямой. Для вопроса b) аналогично получаем , т. е. . Это означает, что угол между векторами  и  острый, т. к. косинус угла положителен. Для вопроса c) получаем , т. е. угол между векторами  и  тупой.

Задача 1.37. Найти угол между векторами  и , если известно, что  и , .

Решение. Пусть искомый угол равен j. Раскрывая скобки и приведя подобные, получаем , где . Подставляя в равенство значения длин векторов  и , получаем , т. е. .

Задача 1.38. На плоскости заданы точки A (–6; 3), B (–7; 7), C (–3; 6), D (–2; 2). Доказать, что ABCD – ромб, и вычислить его площадь.

Решение. Покажем сначала, что ABCD – параллелограмм. Найдем координаты векторов  и . Для этого надо из координат конца вектора вычесть координаты начала. Имеем , , т. е. . Теперь покажем, что соседние стороны AB и BC одинаковой длины. Для этого вычислим модули векторов  и . Имеем: , , . Итак, ABCD – действительно ромб. Вычислим площадь ромба как половину произведения его диагоналей. Находим вектор  и его модуль , затем вектор  и его модуль . Отсюда площадь ромба рвана 15.

Задача 1.39. Векторы и  служат сторонами треугольника ABC. Найти длину медианы AM. Здесь  — орты прямоугольной системы координат.

Решение. Запишем очевидное равенство  и, возводя его в квадрат, получим . Вычислим квадраты модулей векторов  и , а также скалярное произведение . Отсюда находим , т. е. длина медианы AM равна .