Экзаменационные билеты № 1-32 по математике (Множества и основные операции над ними (объединение, пересечение). Простые числа, бесконечность множества простых чисел)

Билет 1

1. Множества и основные операции над ними (объединение, пересечение).

2. При каких целых n дробь сократима?

3. Трапеция. Теорема о средней линии трапеции.

4. Два отрезка AC и BD пересекаются в точке M, причем AM×MС=BM×MD. Доказать, что около четырехугольника ABCD можно описать окружность.

Билет 2

1. Множества и основные операции над ними (дополнение, разность, симметрическая разность).

2. Доказать, что для любого натурального n число  делится на 25.

3. Треугольник. Теорема о средней линии треугольника.

4. В окружность радиуса R вписана трапеция ABCD с острым углом при основании AD, равным.Известно, что биссектриса угла C проходит через центр окружности. Найти площадь трапеции.

Билет 3

1. Бинарные отношения на множестве, их свойства (рефлексивность, антирефлексивность, транзитивность).

2. Доказать, что при любом целом n     делится на 133.

3. Треугольник. Теорема о точке пересечения биссектрис треугольника.

4. Окружность с центром О проходит через вершину C ромба ABCD и касается лучей DC и DA. Найти площадь ромба, если AО=4, ОD=5.

Билет 4

1. Бинарные отношения на множестве, их свойства (симметричность, антисимметричность, связность).

2. При каких целых n дробь сократима?

3. Трапеция. Вывод формул для вычисления площади трапеции.

4. Доказать, что в остроугольном треугольнике высоты являются биссектрисами углов треугольника, вершины которого совпадают с основаниями высот.

Билет 5

1. Бинарные отношения. Отношение эквивалентности. Разбиение множества на классы эквивалентности.

2. Выяснить, при каких значениях параметра а один из корней уравнения   лежит в интервале (1, 2), а второй в интервале (-2, 0).

3. Теоремы об описанном четырехугольнике.

4. Две окружности касаются друг друга в точке M. К ним проведена общая касательная, касающаяся этих окружностей в точках A и B. Доказать, что хорды AM и BM взаимно перпендикулярны.

Билет 6

1. Бинарные отношения. Отношение порядка.

2. Выяснить, при каких значениях параметра а один из корней уравнения   лежит в интервале (-3, -1), а второй в интервале (0, 1).

3. Теоремы об описанном четырехугольнике.

4. Из медиан треугольника ABC построен треугольник DEF, а из медиан треугольника DEF построен треугольник MNK. Доказать, что треугольник MNK подобен треугольнику ABC.

Билет 7

1. Понятие натурального ряда чисел. Система аксиом Пеано.

2. Найти для любых множеств необходимое и достаточное условие выполнения равенства

3. Треугольник. Теорема о свойстве биссектрисы угла треугольника.

4. Через вершины B, C и D трапеции ABCD (AD║ BC) проведена окружность, которая касается прямой AB, а центр ее лежит на диагонали BD. Найти периметр трапеции ABCD, если BC=9, AD=25.

Билет 8

1. Рекурсивное определение операции сложения натуральных чисел. Ассоциативность операции сложения.

2. Для любых двух множеств А и В чему равно ?

3. Трапеция. Вывод формул для вычисления площади трапеции.

4. Две окружности касаются друг друга внутренним образом в точке M. Пусть AB  - хорда большей окружности, касающаяся меньшей окружности в точке T. Доказать, что MT - биссектриса угла AMB.

Билет 9

1. Рекурсивное определение операции сложения натуральных чисел. Ассоциативность операции сложения.

2. Доказать или опровергнуть для любых множеств, что

3. Равнобедренный треугольник и его свойства. Множество точек, равноудаленных от концов отрезка.

3. Дан ромб ABCD. Окружность радиуса R описано около треугольника ABD и  проходит через центр окружности, вписанной в треугольник CBD. Определить площадь  ромба.

Билет 10

1. Рекурсивное определение операции сложения натуральных чисел. Коммутативность операции сложения.

2. Доказать или опровергнуть для любых множеств, что

3. Теоремы о геометрическом месте точек, равноудаленных от сторон угла.

4. Вокруг треугольника ABC описана окружность. Хорда BK  этой окружности параллельна касательной, проведенной к окружности в точке C, и делит сторону AC в отношении 1:8, считая от точки C.  Найти сторону BС, если  AС=9.

Билет 11

1. Рекурсивное определение операции умножения натуральных чисел. Ассоциативность операции умножения.

2. Доказать или опровергнуть для любых множеств, что

3. Теорема об угле между касательной и хордой, проведенной в точку касания.

4. В треугольнике АВС основание высоты СН лежит на стороне АВ, длина медианы АЕ равна 5 см, длина высоты СН равна 6 см. Найти площадь треугольника АВС, если известно, что площадь треугольника АСН в 3 раза больше площади треугольника ВСН.

Билет 12

1. Рекурсивное определение операции умножения натуральных чисел