Региональная авиакомпания планирует купить несколько новых самолетов, потратив на это не более 100 млн. долларов. Необходимо решить, какие самолеты покупать: большие или малые. Цена большого самолета — 50 млн. долларов, а малого — 5 млн. долларов. Годовая прибыль от использования большого самолета должна составить 5 млн. долларов, а от использования малого — 1 млн. долларов. Руководство считает, что не следует покупать более двух малых самолетов. Сколько самолетов каждого типа следует купить, чтобы получить максимальную годовую прибыль?
Решение
Пусть x-количество больших самолетов, y-количество маленьких. Стоимость приобретения равна 50x+5y млн. $, годовая прибыль равна 5x+y млн.$
Получаем следующую оптимизационную задачу:
5x+y→max;
50x+5y≤100;
y≤2;
x≥0;
y≥0;
Больше двух больших самолетов не позволяет купить бюджет, больше двух малых – директива руководства. Таким образом, у нас остается конечное число вариантов покупки, и мы можем решить задачу полным перебором. Составим для этого таблицу:
Количество больших самолетов |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
2 |
Количество малых самолетов |
0 |
1 |
2 |
0 |
1 |
2 |
0 |
Стоимость приобретения, млн.$ |
0 |
5 |
10 |
50 |
55 |
60 |
100 |
Доход, млн.$ |
0 |
1 |
2 |
5 |
6 |
7 |
10 |
Оптимальное решение – купить два больших самолета.
Часть 2
Задача №12. Мебельная фабрика продает каждый стул по цене 3000 рублей. Функция издержек линейная, причем издержки составляют 48000 рублей за десять стульев и 43200 рублей за шесть стульев. Запишите функцию выручки, функцию издержек и функцию прибыли. Найдите точку безубыточности.
Решение
Пусть x – количество проданных стульев. Тогда функция выручки равна F1=3000x. Функция издержек F2 линейная, значит, она имеет вид F2=ax+b. Найдем a и b из условий задачи. При x=10 F2=48000, при x=6 F2=43200.Получим систему двух уравнений с двумя неизвестными a и b:
10a+b=48000;
6a+b=43200;
Вычитаем второе уравнение из первого, получаем 4a=4800, откуда а=1200.
Подставляя полученное значение, а в первое уравнение, получим 12000+b=48000, откуда b=36000. Итак, функция издержек F2=1200x+36000.
Функция прибыли F3=F1-F2=3000x-1200x-36000=1800x-36000.
Для нахождения точки безубыточности решим уравнение F3=0:
1800x-36000=0, откуда x=20.
Таким образом, чтобы получить прибыль, нужно произвести и продать больше 20 стульев.
Задача №15. Некто нанял пароход для перевозки грузов на расстояние 1000 км. Он предлагает хозяину парохода плату в размере 1500 золотых монет за вычетом 9 монет за каждый час нахождения в пути. За поддержание скорости км/ч команда получает от хозяина премию в золотых монет. При какой скорости хозяин парохода заработает больше всего золотых монет?
Решение
Пусть проезд стоит x рублей, f1(x)-функция спроса. Так как при увеличении стоимости проезда на 1 рубль спрос уменьшается на 300 машин, можно считать f1 линейной: f1=b-300x. Найдем b из условий задачи: при x=50 f1=36000, то есть 36000=b-300*50, откуда b=36000+15000=51000, то есть функция спроса f1=51000-300x. Функция выручки f2=x*f1=x(51000-300x). Найдем её максимум. Для этого найдем и приравняем к нулю её производную: (f2)`=(51000x-300x*x)`=51000-600x=0, откуда x=85. Для того, чтобы убедиться, что это действительно максимум, найдем вторую производную f2 при x=85: (f2)``=((f2)`)`=(51000-600x)`=-600<0. Итак, x=85 – действительно точка максимума функции выручки. Выручка будет максимальной при цене проезда в 85 рублей,
Часть 3
Задача №19. В ящике для игрушек лежат три кубика, три шарика и три пирамидки. Предположим, что обезьяна взяла из ящика кубики, затем шарики, а затем пирамидки.
(1) Найдите вероятность такого события при случайном выборе.
(2) Можно ли на основании данного события утверждать, что обезьяна различает форму игрушек? Почему?
Решение
1) Из лежащих в ящике игрушек выбрать сначала кубики, потом шарики
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.