Составление наиболее дешевого рациона питания животных на ферме. Расчет точки безубыточности для мебельной фабрики

Региональная авиакомпания планирует купить несколько новых самолетов, потратив на это не более 100 млн. долларов. Необходимо решить, какие самолеты покупать: большие или малые. Цена большого самолета — 50 млн. долларов, а малого — 5 млн. долларов. Годовая прибыль от использования большого самолета должна составить 5 млн. долларов, а от использования малого — 1 млн. долларов. Руководство считает, что не следует покупать более двух малых самолетов. Сколько самолетов каждого типа следует купить, чтобы получить максимальную годовую прибыль?

Решение

Пусть x-количество больших самолетов, y-количество маленьких.  Стоимость приобретения  равна 50x+5y млн. $, годовая прибыль равна 5x+y млн.$

Получаем следующую оптимизационную задачу:

5x+y→max;

50x+5y≤100;

y≤2;

x≥0;

y≥0;

Больше двух больших самолетов не позволяет купить бюджет, больше двух малых – директива руководства. Таким образом, у нас остается конечное число вариантов покупки, и мы можем решить задачу полным перебором. Составим для этого таблицу:

Оптимальное решение – купить два больших самолета.

Часть 2

Задача №12. Мебельная фабрика продает каждый стул по цене 3000 рублей. Функция издержек линейная, причем издержки составляют 48000 рублей за десять стульев и 43200 рублей за шесть стульев. Запишите функцию выручки, функцию издержек и функцию прибыли. Найдите точку безубыточности.

Решение

Пусть x – количество проданных стульев. Тогда функция выручки равна F1=3000x. Функция издержек F2 линейная, значит, она имеет вид F2=ax+b. Найдем a и b из условий задачи. При x=10 F2=48000, при x=6 F2=43200.Получим систему двух уравнений с двумя неизвестными a и b:

10a+b=48000;

6a+b=43200;

Вычитаем второе уравнение из первого, получаем 4a=4800, откуда а=1200.

Подставляя полученное значение, а в первое уравнение, получим 12000+b=48000, откуда b=36000. Итак, функция издержек F2=1200x+36000.

Функция прибыли F3=F1-F2=3000x-1200x-36000=1800x-36000.

Для нахождения точки безубыточности решим уравнение F3=0:

1800x-36000=0, откуда x=20.

Таким образом, чтобы получить прибыль, нужно произвести и продать больше 20 стульев.

Задача №15. Некто нанял пароход для перевозки грузов на расстояние 1000 км. Он предлагает хозяину парохода плату в размере 1500 золотых монет за вычетом 9 монет за каждый час нахождения в пути. За поддержание скорости  км/ч команда получает от хозяина премию в  золотых монет. При какой скорости хозяин парохода заработает больше всего золотых монет?

Решение

Пусть проезд стоит x рублей, f1(x)-функция спроса. Так как при увеличении стоимости проезда на 1 рубль спрос уменьшается на 300 машин, можно считать f1 линейной: f1=b-300x. Найдем b из условий задачи: при x=50 f1=36000, то есть 36000=b-300*50, откуда b=36000+15000=51000, то есть функция спроса f1=51000-300x. Функция выручки f2=x*f1=x(51000-300x). Найдем её максимум. Для этого найдем и приравняем к нулю её производную: (f2)`=(51000x-300x*x)`=51000-600x=0, откуда x=85. Для того, чтобы убедиться, что это действительно максимум, найдем вторую производную f2 при x=85: (f2)``=((f2)`)`=(51000-600x)`=-600<0. Итак, x=85 – действительно точка максимума функции выручки. Выручка будет максимальной при цене проезда в 85 рублей,

Часть 3

Задача №19. В ящике для игрушек лежат три кубика, три шарика и три пирамидки. Предположим, что обезьяна взяла из ящика кубики, затем шарики, а затем пирамидки.

(1)  Найдите вероятность такого события при случайном выборе.

(2)  Можно ли на основании данного события утверждать, что обезьяна различает форму игрушек? Почему?

Решение

1)  Из лежащих в ящике игрушек выбрать сначала кубики, потом шарики