Инвариантность. Комбинированное управление. Количественная оценка инвариантности

6.8 Инвариантность

6.8.1 Основные понятия

Инвариантность управляемой (регулируемой) переменной  САУ к возмущениям  и ковариантность с задающим воздействием  являются важнейшими требованиями к процессу управления в САУ. В теории инвариантности приняты следующие определения:

- САУ является инвариантной по отношению к возмущающему воздействию , если после завершения переходного процесса, определяемого начальными условиями, управляемая (регулируемая) величина  и ошибка  системы не зависят от этого воздействия;

- САУ является инвариантной по отношению к задающему воздействию , если после завершения переходного процесса, определяемого начальными условиями, ошибка  системы не зависит от этого воздействия.

Во втором определении рассматривается инвариантность ошибки САУ  к задающему воздейстию , т.е. управляемая переменная  должна совпадать с задающим воздействием . Этот факт обозначается термином «ковариантность». Следовательно, ковариантность переменных означает их совпадение (близость). Управляемая (регулируемая) переменная  должна быть ковариантной с задающим воздействием .

Теоретически, без потери общности ограничиваются рассмотрением условий инвариантности переменных. На практике для следящих систем в основном исследуются условия ковариантности, а для систем стабилизации и подавления возмущений - условия инвариантности.

Рассмотрим общую математическую трактовку условий инвариантности для ошибки , когда на систему действует одно входное воздействие:  или .

Пусть поведение САУ описывается уравнением

, где - задающее  или возмущающее  воздействие.

Решение этого уравнения имеет следующий вид:

.                                                     (6.12)

Изображение (по Лапласу) ошибки  при нулевых начальных условиях определяется соотношением

,       (6.13)

где   - передаточная функция САУ;

- изображение (по Лапласу) воздействия .

Для простых полюсов решение (6.12) запишется в виде

,               (6.14)

где  - корни уравнения ;

- корни уравнения .

Вынужденная (установившаяся) составляющая ошибки  будет тождественно равна нулю в следующих случаях:

1) если , то . Тривиально;

2) если , , что соответствует абсолютной инвариантности системы по отношению к входному воздействию , которое может быть любой функцией времени. Под абсолютной инвариантностью переменной  понимается полная независимость вынужденных движений от воздействий . Для САР условие абсолютной инвариантности переменной  записывается так:  . Очевидно, что при этом условии не будет ни переходной, ни установившейся составляющей  при любых ограниченных воздействиях. Но могут быть свободные движения из-за ненулевых начальных условий.

В следящих системах при рассмотрении задающего воздействия  условие  () означает, что равна нулю передаточная функция по ошибке , т.е. . Следовательно, частотная характеристика замкнутой системы  при , т.е. САУ имеет бесконечную полосу пропускания, что реализовать принципиально трудно;

3) равенство нулю  будет наблюдаться для таких входных функций , изображения которых имеют все полюсы (корни уравнения ) совпадающими с нулями передаточной функции (корнями уравнения ). В этом случае после разложения на множители полиномов  и  можно сократить одинаковые множители вида () в числителе и знаменателе (6.13). В результате второе слагаемое (6.14) обращается в нуль и .

Последний случай соответствует частичной инвариантности. Система будет инвариантна к входным воздействиям определенного вида, например к воздействиям, которые могут быть представлены в виде степенной функции времени с положительными и ограниченными степенями, в виде суммы экспонент с заданными постоянными времени и т.п.

Вводится также понятие инвариантности системы по отношению к какому-либо входному воздействию с точностью до . Здесь имеется в виду не , а приближенное равенство, мерой выполнения которого является некоторая величина . Иными словами, если вынужденные движения  при ограниченных воздействиях ограничены, то говорят об инвариантности до .

В теории инвариантности вводится также понятие «селективная инвариантность», которое означает независимость (ограниченную зависимость) установившейся реакции системы  на воздействие  определенного вида. Применительно к вышеизложенному частичную инвариантность следует трактовать как селективную абсолютную инвариантность, т.е. независимость  на воздействие  определенного вида, например

; ;              (6.15)

- степенное воздействие (при  имеем единичную ступенчатую функцию );

;                                    (6.16)