Степенной ряд и радиус сходимости. Единственность

Лекция 14

Теорема 1

Пусть степенной ряд  имеет радиус сходимости R>0 Þ ряд , полученный почленным дифференцированием начального ряда, имеет также радиус сходимости R и в круге сходимости есть (комплексные) производные начального ряда.

Доказательство

1*) .

2*) Пусть . Пусть     – ряд из последовательности членов сходится. По признаку Вейерштрасса ряд  сходится равномерно при .

Следствие 1

Степенной ряд бесконечно дифференцируем в круге сходимости (в комплексном смысле).

Следствие 2

Степенной ряд имеет (комплексную) первообразную в круге сходимости.

Теорема 2

Пусть степенной ряд  имеет радиус сходимости R>0, j(t) – непрерывное отображение отрезка [a,b] в круг сходимости, g(t) – непрерывная функция на [a,b] Þ .

Теорема 3

Степенной ряд  с радиусом сходимости R>0 есть ряд Тейлора своей суммы.

Доказательство

 в круге сходимости , то есть надо доказать, что . Имеем  в точке z=0 имеем .

Теорема 4 (единственность)

Пусть степенные ряды  и  с положительными радиусами сходимости совпадают в точках  Þ эти ряды совпадают тождественно (то есть a_k=b_k для "k).

Доказательство

Из непрерывности суммы степенного ряда (в круге сходимости) следует, что в точке 0 оба ряда принимают одинаковые значения, то есть a₀=b₀.

Предположим, что a_k=b_k для k=0,1…n. Докажем, что a_n+1=b_n+1.

Степенные ряды  и  совпадают в точках  Þ степенные ряды  и  совпадают в точках , у них совпадают по доказанному коэффициенты при k=0, то есть a_n+1=b_n+1.

Теорема 5 (Абеля)

Пусть степенной ряд  сходится в точке z₀ Þ он сходится равномерно на отрезке  Þ есть непрерывные функции на нем.

Доказательство

Ряд  сходится равномерно при  по признаку Абеля.

Пример 1

1) Рассмотрим   сходится при .

2) Рассмотрим    сходится при