Признак Абеля. Признак Дирихле. Теорема о предельном переходе

Лекция 18

Теорема 1 (признак Абеля)

Если несобственный интеграл Римана  (с особой точкой ) сходится равномерно на Y, функция v(x,y) определена на : v(a,y) и  ограничена на Y Þ несобственный интеграл Римана  сходится равномерно на Y.

Теорема 2 (признак Дирихле)

Если интеграл Римана  равномерно ограничен для  и yÎY, а v(x,y) определена на : v(x,y) сходится равномерно к 0 при  и  равномерно сходится к 0 при  Þ при условии интегрируемости по Риману u(x,y)v(x,y) на [a,b’] при  и yÎY несобственный интеграл Римана  сходится равномерно на Y.

Доказательство

Пусть . Оценим  .

Для Теоремы 1:  

.

Интеграл Римана сходится равномерно Þ  .

Для Теоремы 2:

  и  для .

Теорема 3 (о предельном переходе)

Пусть несобственный интеграл  (в " из 3 смыслов) сходится равномерно на Y, для "bÎ[a,b) f(x,y) равномерно стремится к g(x) на  при , y₀ – предельная точка Y (Y  из некоторого метрического пространства) Þ несобственный интеграл  (с особой точкой b) существует и равен .

Доказательство

Имеем, что . Из-за равномерной сходимости несобственного интеграла имеем  . Имеем, что  и .

Теорема 4 (о непрерывности)

Пусть f(x,y) непрерывна на , Y – компакт в Rⁿ, несобственный интеграл  сходится равномерно на Y Þ несобственный интеграл  – непрерывная функция на Y.

Доказательство

 – непрерывная функция на Y. По условию I_z(y) равномерно стремится к I(y) на Y при  Þ I(y) – непрерывная функция на Y.

Теорема 5 (о дифференцировании)

Пусть f(x,y) и  непрерывные функции на , I – промежуток в R, несобственный интеграл  сходится равномерно на I, несобственный интеграл  сходится хотя бы в 1 точке I Þ несобственный интеграл  сходится равномерно на " ограниченном промежутке JÌI, это дифференцируемая функция на I и  .

Доказательство

Рассмотрим . По свойству интеграла:  на I. Имеем, что  сходится равномерно при  на Y, то есть  равномерно стремится к  при  на Y. I_z(y) сходится при  в некоторой точке из Y Þ I_z(y) сходится равномерно при  на " ограниченном промежутке JÌI, то есть I_z(y) равномерно стремится к  при  на Y, причем  дифференцируемая на I функция и её производная – это .

Теорема 6 (о собственном интеграле)

Пусть f(x,y) непрерывна на , и несобственный интеграл  (с особой точкой b) сходится равномерно на [c,d] Þ несобственный интеграл  интегрируем по Риману на [c,d] и   – несобственный интеграл от  по [a,b).

Доказательство

, I_z(y) равномерно стремится к I(y) при   на [c,d] Þ .