Интегральный признак Коши. Признак Куммера. Знакопеременные ряды. Признак Лейбница

Лекция 3

7. (Интегральный признак Коши) Пусть f монотонная невозрастающая неотрицательная функция на  . Ряд  и интеграл  одновременно сходятся или расходятся, и если сходятся, то  .

Доказательство

.

Следствие 1

Ряд  сходится при a>1 и расходится при a<1.

8. (Признак Куммера) Пусть  ряд со строго положительными членами и b_k, kÎN, последовательность со строго положительными членами. Пусть :      1) Если , то ряд  сходится.

2) Если  и ряд  расходится, то и ряд  расходится.

Доказательство

1*)  . Значит ряд  сходится, и ряд  тоже сходится.

2*)  Если . . Тогда из расходимости ряда следует расходимость ряда  и расходимоть ряда .

Следствие 2

Пусть ряд со строго положительными членами и b_n – строго положительная последовательность. Если , то ряд  сходится.  и ряд  расходится, то и ряд  расходится.

9. (Признак Раабе) Пусть ряд со строго положительными членами. Пусть . Если r>1, то ряд  сходится, а если r<1, то расходится.

Доказательство

.

10. (Признак Гаусса) Пусть  ряд со строго положитеьными членами и , где a,b,e – числа, e>0, а g_n – ограниченная последовательность Þ при a>1 или a=1, b>1 ряд  сходится, а при a<1 или a=1,при b£1, ряд  расходится.

Доказательство

 по признаку Даламбера при  ряд сходится, а при  расходится.

1*) a=1 Þ  по признаку Раабе при b>1 ряд сходится, а при  b<1 расходится.

2*) a=1, b=1. Пусть . Ряд  расходится по интегральному признаку Коши.    ряд расходится.

Знакопеременные ряды

1.(Признак Лейбница) Пусть ряд действительных чисел со знакопеременными членами (то есть a_k – знакочередующаяся последовательность, все a_k с нечетными k одного знака, а все a_k с четными k другого) и | a_k | – невозрастающая, стремящаяся к 0 последовательность. Тогда это ряд Лейбница, он сходится и .

Доказательство

Пусть a_k с нечетными k неотрицательны, а a_k с четными k неположительны Þ  Þ S_2n неубывающая последовательность.  Þ S_2n+1 невозрастающая последовательность. И   , S_2n – сходится, , S_2n+1 – сходится. .

Рассмотрим .

С другой стороны .

Рассмотрим  .