Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных, страница 4

Проанализируем разность  (1) в зависимости от значений величин A,C и D=AC-B²:

1) è

è стационарная точка х₀ является точкой локального минимума.

2) è

è стационарная точка х0 является точкой локального максимума.

3)D<0 ó собственные числа разного знака (например,)ó в ПО(х₀,r)  (1) принимает как положительные значения(в точках прямой L₁, так и отрицательные значения (è стационарная точка х₀ не является точкой локального экстремума функции.

4)D=0 ó

Пример-1. Найти и исследовать стационарные точки функции f(x,y)=xy+x²+y³

1)Df(x,y)=[y+2x;x+3y²]=[0;0]ó (0;0);(-1/12; 1/6)

2)-не точка Л.Э. G(-1/12;1/6)=  ó ст. точка (-1/12;1/6)- точка локального минимума:

f_min=f(/1/12;1/6)=-1/(2×6³).

Пример-2.

è стационарных точек функция не имеет, поэтому единственный «кандидат» в точки Л.Э. – точка (0;0): f непрерывна в точке и не существует Df(0;0).

Так как, точка (0;0)- точка Л.max.

§9 Понятие о методе градиентного спуска.

Пусть f дифференцируемая функция . Методом "градиентного спуска"называют итерационный алгоритм отыскания (приближения к ) локального минимума Ф.Н.П., основанный на свойстве вектора v= - gradf(a), определяющего в каждой точке направление "наибыстрейшего убывания" функции.

Пусть извесно, что в некоторой окрестности точки имеется локальный минимум.

Рассмотрим один "шаг" алгоритма  метода "градиентного спуска".

    1) Построим вектор  и запишем уравнение луча L(прямой), проходящего через точку М в направлении вектора  :.

Значения функции в точках этого луча =φ(t) определяются одной переменной - параметром "смещения"  t.

2) Выберем "шаг смещения " t₀из условия убывания функции φ(t)

 3) Перейдем в точку   , значение функции в которой, очевидно,

Если в точке М₁ , алгоритм работу заканчивает - точка М₁- стационарная точка функции. Если же , выполняется следующий шаг алгоритма : по точке М₁ находится точка М₂ : f(М₂)<f(М₁).

    Последовательность точек      {xo,x1,..,xi,..}    сходится к точке  a : grad f(a) =0

Замечанмя. 1. На практике итерационный процесс прекращают, если ||grad[f(M_n)]||≤ eps.

2. Задача поиска максимума функции f, очевидно, сводится к задаче поиска минимума функции -f.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Пример.  f(x,y) = x2 + 3y2 ;  Mo(3,1)  f(x,y) = [2x, 6y]t =2[x;3y]^t;  f(Mo)=12

    I шаг]

1)  уравнение луча :

2) Сужение функции  f  на этот луч  и  ее стационарная точка to :

         II]  шаг

1) 

2)

         III] шаг  1) 

2) 

xi	xo=[3, 1]	x1=[3/2; -1/2]	x2=[3/4; 1/4]	x3=[3/8; -1/8]
f(xi)	12	3	3/4	3/16
	6[1; 1]	3[1;-1]	3/2[1;1]	3/4[1;-1]
линия уровня полуоси	а=23;  b=2	а=3;  b=1	а=3/2;  b=1/2	а=3/4;  b=1/4

Обратите внимание : 1) f(xi)=12/4i ;    Vi=/2i ;   ai=23/2i;  bi=2/2i ; q= 1/2 !!! линии уровня - подобные эллипсы с полуосями, убывающими как геом.прогр. со знаменателем q.

Последовательность {xo,x1,x2,x3,...} сходится к точке (0,0) локального минимума.